Question

Прямая АВ пересекает параллельные плоскости α, β,γ соответственно в точках А, В, С, причем АВ = 14, ВС = 4. Прямая МK пересекает эти же плоскости α, β,γ соответственно в точках М, K, Р, причем МР = 10. Найдите все значения, которые может принимать длина отрезка МK.

Answer 1

Возможны три случая взаимного расположения прямых АВ и МР:
1. АВ и  МР параллельны.
Параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых равные отрезки, значит
МК = АВ = 14

2. АВ и МР пересекаются.
Две пересекающиеся прямые АВ и МР задают плоскость, которая пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым:
АМ║ВК║СР
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла СНР пропорциональные отрезки:
АВ : BC = МК : КР
14 : 4 = х : (10 - х)
4х = 14·(10 - х)
4x = 140 - 14x
18x = 140
x = 70/9
МК = 70/9

3. АВ и МР скрещивающиеся.
Проведем прямую A'B', параллельную прямой АВ и пересекающуюся с прямой МР.
Параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых равные отрезки, тогда
A'B' = AB = 14
B'C' = BC = 4
Задача сводится ко второму случаю.

Answer 2

Поскольку прямая АB пересекает плоскости α, β, γ соответственно в точках А, В, С, то можно построить треугольник ABC. Аналогично, прямая Мk пересекает эти же плоскости α, β, γ соответственно в точках М, k, Р, можно построить треугольник МkР.

Из условия задачи известно, что AB = 14, BC = 4 и МР = 10.

Введем переменную x и обозначим Мk = x. Тогда представим треугольник ABC и треугольник МkР на координатной плоскости, а точку В следуя правилу Вектора:

А(0,0,0), В(0,0,14), С(14,0,14) М(0,x,10), k(0,x,x+10), Р(14,x,x+10)

Теперь построим плоскости α, β, γ через точки ABC и плоскости α', β', γ' через точки МkР:

Из точек А, В, С определяем нормаль вектор плоскости α: Нормальный вектор α = (С - А) x (В - А) = (14, 0, 14) x (0, 0, 14) = (0, 196, 0)

Из точек М, k, Р определяем нормаль вектор плоскости α': Нормальный вектор α' = (Р - М) x (k - М) = (14, x - x, x + 10 - 10) x (0, x - x, x + 10 - 10) = (0, 0, 0)

Аналогично, находим нормальные векторы β и γ для плоскостей β, γ.

Так как плоскость а' определена нулевым вектором, то прямая Мk параллельна плоскости α'.

Если прямая параллельна плоскости, то она не пересекает плоскость вовсе или пересекает ее в бесконечно удаленных точках. В данном случае, для всех значений x от 0 до бесконечности, прямая Мk будет выполняться.

Следовательно, длина отрезка Мk может принимать любые значения от 0 до бесконечности+.