Question

Площадь прямоугольного треугольника 30 см в квадрате а сумма катетов 17 см, найдите гипотенузу треугольника

Answer 1

A+b=17,  поэтому     b=17-a
S=ab/2=a·(17-a)/2
a·(17-a)/2= 30
a(17-a)=60
a²-17a+60=0
D=(-17)²-4·60=289-240=49=7²
a=(17-7)/2=5    или     а=(17+7)/2=12
тогда
b=17-a=17-5=12        b=17-a=17-12=5

с²=12²+5²=144+25=169
с=13

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\), а гипотенузу как \(c\). У нас есть два условия:

1. Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2}ab = 30\, \text{см}^2\). 2. Сумма катетов: \(a + b = 17\, \text{см}\).

Мы можем воспользоваться этими условиями для решения задачи. Давайте начнем с уравнения для площади:

\[S = \frac{1}{2}ab = 30\, \text{см}^2.\]

У нас также есть уравнение для суммы катетов:

\[a + b = 17\, \text{см}.\]

Мы можем использовать это уравнение для выражения одной из переменных через другую. Допустим, мы выразим \(a\):

\[a = 17 - b.\]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для площади:

\[\frac{1}{2}(17 - b)b = 30.\]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[17b - b^2 = 60.\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[b^2 - 17b + 60 = 0.\]

Это уравнение квадратное относительно \(b\), и мы можем решить его с использованием методов решения квадратных уравнений. Найдем два значения \(b\), а затем найдем соответствующие значения \(a\).

\[b = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 60}}{2}.\]

Рассчитаем:

\[b = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240}}{2} = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2}.\]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(b\): \(b_1 = 7\) и \(b_2 = 10\).

Теперь найдем соответствующие значения \(a\) с использованием выражения \(a = 17 - b\):

1. Для \(b_1 = 7\): \(a_1 = 17 - 7 = 10\). 2. Для \(b_2 = 10\): \(a_2 = 17 - 10 = 7\).

Теперь у нас есть две пары значений для \(a\) и \(b\): \((a_1, b_1) = (10, 7)\) и \((a_2, b_2) = (7, 10)\).

Наконец, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы \(c\):

\[c^2 = a^2 + b^2.\]

1. Для \((a_1, b_1)\): \(c_1^2 = 10^2 + 7^2\). 2. Для \((a_2, b_2)\): \(c_2^2 = 7^2 + 10^2\).

Вычислим значения \(c_1\) и \(c_2\):

1. Для \((a_1, b_1)\): \(c_1^2 = 100 + 49 = 149\), следовательно, \(c_1 = \sqrt{149}\). 2. Для \((a_2, b_2)\): \(c_2^2 = 49 + 100 = 149\), следовательно, \(c_2 = \sqrt{149}\).

Таким образом, гипотенуза треугольника равна \(\sqrt{149}\) см.