Question

1. Дана точка М(1;3;2). Найдите координаты точки М1- проекции точки М на плоскость Оxz и координаты точки М2-проекции точки М на ось Оz.2. Даны точки Е(-1;2;3) и F(1;-1;4). Разложите вектор EF по векторам i,j,k

Answer 1

1) M1(1;0;2) так как на плоскость Охz, то здесь отсутствует координата у, т.е. она равна 0

    M2(0;0;2) здесь до оси Оz, отсутствуют координаты х и у, т.е. они равны 0

2) вычислим координаты вектора EF{1-(-1); -1-2; 4-3}

EF{2;-3;1}    EF=2i-3j+k

Answer 2

1. Чтобы найти проекцию точки М на плоскость Оxz, нужно проектировать каждую координату точки М на оси Оx, Оz и затем создавать новый вектор, составленный из проекций.

Координаты точки М: (1, 3, 2)

Проекция координаты x на плоскость Оxz будет равна x = 1, так как она остается неизменной.

Проекция координаты y на плоскость Оxz будет равна y = 0, так как плоскость Оxz находится на уровне y = 0.

Проекция координаты z на плоскость Оxz будет также равна z = 2, так как она остается неизменной.

Таким образом, координаты точки М1 - проекции точки М на плоскость Оxz будут равны (1, 0, 2).

Чтобы найти проекцию точки М на ось Оz, нужно просто проецировать только координату z на эту ось и остальные координаты обнулять.

Координаты точки М: (1, 3, 2)

Проекция координаты z на ось Оz будет равна z = 2, так как ось Оz проходит через координату z точки М.

Проекции координат x и y будут равны 0, так как они не находятся на оси Оz.

Таким образом, координаты точки М2 - проекции точки М на ось Оz будут равны (0, 0, 2).

2. Чтобы разложить вектор ef по векторам i, j, k, нужно представить вектор ef как сумму этих векторов с коэффициентами, равными проекциям вектора ef на каждый из векторов i, j, k.

Координаты точки Е: (-1, 2, 3) Координаты точки f: (1, -1, 4)

Вектор ef можно найти вычитая координаты точки E из координат точки f: ef = f - E = (1, -1, 4) - (-1, 2, 3) = (2, -3, 1)

Теперь, чтобы разложить вектор ef по векторам i, j, k, нужно найти проекции вектора ef на каждый из этих векторов.

Проекция вектора ef на вектор i будет равна скалярному произведению вектора ef на вектор i, деленному на квадрат длины вектора i:

proj_i(ef) = (ef · i) / (i · i) = (2*1 + (-3)*0 + 1*0) / (1*1 + 0*0 + 0*0) = 2 / 1 = 2

Проекция вектора ef на вектор j будет равна скалярному произведению вектора ef на вектор j, деленному на квадрат длины вектора j:

proj_j(ef) = (ef · j) / (j · j) = (2*0 + (-3)*1 + 1*0) / (0*0 + 1*1 + 0*0) = -3 / 1 = -3

Проекция вектора ef на вектор k будет равна скалярному произведению вектора ef на вектор k, деленному на квадрат длины вектора k:

proj_k(ef) = (ef · k) / (k · k) = (2*0 + (-3)*0 + 1*1) / (0*0 + 0*0 + 1*1) = 1 / 1 = 1

Таким образом, разложение вектора ef по векторам i, j, k будет равно: ef = 2*i - 3*j + k