Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА !!!!!!!!!!!!!!! На сторонах AB и AC треугольника ABC , в котором AB=BC, взяты точки M и N, соответственно , так , что описанная около треугольника AMN окружность касается стороны BC в точке P. пусть Q - вторая точка пересечения прямой MP с описанной около треугольника CNP окружностью .Найдите отношение AP\ QM

Answer 1

Ответ. AP/QM=1. 
Решение. Отметим точку P1, которая симметрична точке P относительно серединного перпендикуляра отрезка AC. Тогда из симметрии понятно, что P1 лежит стороне AB, AP=CP1 и ∠PCP1=∠PAB. Из свойства касательной имеем ∠PCP1=∠PAB=∠BPM, то есть PM∥CP1. Известно, что один угол вписанного четырехугольника равен внешнему углу противоположного. Поэтому ∠PQC=∠PNA=∠PMB, то есть P1M∥CQ. Как видим, четырехугольник MQCP1 — параллелограмм. Значит, APQM=APCP1=1.

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства окружностей и треугольников.

Свойство окружностей, касающихся сторон треугольника:

Если окружность описана вокруг треугольника и касается одной из его сторон, то точка касания является точкой касания вневписанной окружности, соответствующей этой стороне.

Свойство сегментов касательных:

Когда две касательные от точки внешней окружности пересекаются с внутренней окружностью, получаются сегменты, имеющие одинаковую длину.

Разделительная теорема:

Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведения отрезков этих хорд равны между собой.

Теперь рассмотрим данную задачу.

Шаг 1: Нахождение отношения AP/QM:

Для начала, обратим внимание, что треугольник ABC является равнобедренным (AB=BC), поэтому углы ABC и BCA равны.

Также, так как AMN является треугольником, описанным вокруг окружности, то угол AMN = 180° - угол BAC.

Шаг 2: Рассмотрение треугольников AMN и CNP:

Так как AMN и CNP являются треугольниками, описанными вокруг окружностей, у них также есть соответствующие углы.

Обратим внимание, что угол AMP является вписанным углом в окружности CNP. Также, угол NMP является вписанным углом в окружности AMN.

Шаг 3: Использование свойств окружностей и треугольников:

Теперь мы можем использовать свойства окружностей и треугольников для нахождения отношения AP/QM.

- Так как AMN описана вокруг окружности, касающейся стороны BC в точке P, то точка P является точкой касания вневписанной окружности треугольника ABC, соответствующей стороне BC. - Следовательно, угол P = угол BAC.

- Также, согласно свойству сегментов касательных, сегменты BM и CN равны.

- По разделительной теореме, можем записать: AM * MN = BM * CN.

Шаг 4: Использование найденных углов и соотношений:

Теперь, используя все найденные углы и соотношения, можем найти отношение AP/QM.

- Из угла AMN = 180° - угол BAC, получаем угол AMN = угол BAC.

- Из угла NMP = угол BAC и соответствующего угла AMN = угол BAC, получаем угол NMP = угол AMN.

- Так как AM * MN = BM * CN, можем записать AM/CN = BM/MN.

- Также, так как угол P = угол BAC, получаем угол AMP = угол BAC.

Шаг 5: Вычисление отношения AP/QM:

Теперь мы можем выразить отношение AP/QM и вычислить его.

- Из угла NMP = угол AMN и соответствующего угла NMP = угол AMN, получаем угол NPM = угол AMN.

- Используя свойство треугольников, получаем AM/CN = BM/MN = AP/QM.

Таким образом, отношение AP/QM равно AM/CN = BM/MN.