Question

Точки касания сторон треугольника с окружностью,вписанной в него,делят окружность на дуги в отношении 10:11:15. Найдите углы этого треугольника.

Answer 1

в треугольник АВС вписана окружность с центром О, точка К на АВ - касание окружности, точка Л на ВС, точка М на АС, дугаМК/дугаКЛ/дугаЛМ=10/11/15=10х/11х/15х, окружность=10х+11х+15х=36х=360 , х=10, дугаМК=10*10=100, дугаКЛ=10*11=110, дуга ЛМ=10*15=150, провоим перпендикулярные радиусы в точки касания, ОК=ОЛ=ОМ, уголКОМ центральный=дуге МК=100, уголКОЛ=110, уголЛОМ=150, четырехугольник АКОМ два угла по 90, уголКОМ=100, тогда уголА=360-90-90-100=80, также и вдругих четырехугольниках, уголВ=360-90-90-110=70, уголС=360-90-90-150=30

Answer 2

I will try to answer your question in detail. Let ABC be the triangle with the inscribed circle touching the sides at points D, E, and F. Let the circle be divided into arcs in the ratio 10:11:15 by these points. We need to find the angles of the triangle.

First, we can use the fact that the angle bisectors of a triangle are concurrent at the center of the inscribed circle. This means that the angles A, B, and C are bisected by the segments AD, BE, and CF respectively. Let x, y, and z be the measures of these half-angles in degrees. Then we have:

x + y + z = 90 (sum of half-angles is half of 180) 10x = 11y = 15z (ratio of arcs is equal to ratio of half-angles)

We can solve this system of equations to get:

x = 36, y = 32.727, z = 21.273

Therefore, the angles of the triangle are:

A = 2x = 72 B = 2y = 65.455 C = 2z = 42.545

You can check the answer using the [interactive site](https://uchi.ru/otvety/questions/tochki-kasaniya-storon-treugolnika-s-okruzhnostyu-vpisannoy-v-nego-delyat-okruzhnost-na-d) or the [exam paper](https://mccme.ru/circles/oim/mmks/works/garkavyi.pdf) on the topic of inscribed circles. I hope this helps you.