Question

В равнобедренной трапеции острый угол равен 45∘, а высота в 3 раза меньше большего основания. Найти площадь трапеции, если меньшее основание равно 8 см.

Answer 1

Проведём 2 высоты. Их длины обозначим за х, тогда длина нижнего основания - 3х. Заметим, что прямоугольные треугольники, отсечённые высотами по бокам трапеции, равнобедренны (углы по 45 градусов). Значит длины высот равны длинам их нижних сторон (лежащих на большем основании) и равны по x. Тогда в середине трапеции остаётся прямоугольник, у которого боковые стороны (являющиеся высотами) равны по х, нижняя сторона равна 3х - х - х = х. Получается, что этот прямоугольник - квадрат, следовательно все его стороны равны по 8, значит х = 8, следовательно высота трапеции = 8, нижнее основание = 3 * 8 = 24.
Ищем площадь. S трапеции = произведению высоты на полусумму оснований.
S = 8 * ((8 + 24) / 2)
S = 8 * 16
S = 128
Ответ: S = 128 см^2.

Answer 2

Давайте обозначим основания трапеции как \( a \) (меньшее основание) и \( b \) (большее основание). Также обозначим высоту трапеции как \( h \).

Из условия задачи у нас есть следующие данные: 1. Острый угол в трапеции равен \( 45^\circ \). 2. Высота трапеции в 3 раза меньше большего основания.

Сначала определим высоту трапеции. У нас есть, что высота в 3 раза меньше большего основания, так что \( h = \frac{b}{3} \).

Теперь рассмотрим треугольник, образованный высотой трапеции, меньшим основанием и половиной разницы оснований. Этот треугольник прямоугольный, и у нас есть острый угол в \( 45^\circ \). Значит, мы можем использовать тригонометрические соотношения для определения \( b \).

В этом треугольнике у нас есть следующие отношения: \[ \tan(45^\circ) = \frac{\frac{b}{2} - \frac{a}{2}}{\frac{b}{3}} \]

Решим это уравнение относительно \( b \): \[ \tan(45^\circ) = \frac{\frac{b}{6} - \frac{a}{6}}{\frac{b}{3}} \]

\[ 1 = \frac{b - a}{2b} \]

\[ 2b = b - a \]

\[ b = a \]

Таким образом, мы видим, что большее основание \( b \) равно меньшему основанию \( a \).

Теперь мы можем выразить площадь трапеции через известные значения:

\[ S = \frac{1}{2} (a + b)h = \frac{1}{2} (a + a)\frac{a}{3} = \frac{a^2}{3} \]

Теперь, когда у нас есть выражение для площади трапеции, мы можем подставить значение меньшего основания \( a = 8 \, \text{см} \):

\[ S = \frac{8^2}{3} = \frac{64}{3} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет \( \frac{64}{3} \, \text{см}^2 \).