Question

Прямая,проходящая через центр прямоугольника перпендикулярно диагонали,пересекает большую сторону прямоугольника под углом,равным 60 градусов.Отрезок этой прямой,заключенный внутри прямоугольника,равен 10.Найдите большую сторону прямоугольника.

Answer 1

АВСД прямоугольник, ВС и АД большие стороны. ВД диагональ. МК отрезок, проходящий через центр прямоугольника (точку пересечения его диагоналей) и перпенд. ВД. Угол МКД = 60. Найти АД.
Решение.
Так как О середина, то МО = КО = 10 : 2 = 5.
Треуг. КОД прямоугольный, угол КДО = 90 - 60 =30. Напротив угла 30 градусов лежит катет вдвое меньше гипотенуз, значит
КД = 5 * 2 =10.
Через середину О проведем прямую, перпендикулярную АД. Она пересечет сторону АД в точке Е, причем Е - середина АД.
Треуг. КЕО прямоугольный. Угол КОЕ = 90 - 60 = 30, тогда КЕ = 5 : 2 = 2,5.
ЕД = 10 - 2,5 = 7,5
Поскольку ЕД - половина стороны АД, то АД = 7,5 * 2 =15.
Ответ: 15.

Answer 2

Пусть прямоугольник имеет длину L и ширину W.

Так как прямая проходит через центр прямоугольника и перпендикулярна его диагонали, то она также делит прямоугольник на две равные части.

Пусть точка пересечения этой прямой с большей стороной прямоугольника имеет координаты (x, 0), где x - расстояние от центра прямоугольника до этой точки.

Так как угол между прямой и большей стороной прямоугольника равен 60 градусам, то прямоугольник можно разделить на два равнобедренных треугольника. В одном из этих треугольников стороны равны x, L/2 и L/2, а в другом треугольнике стороны равны W/2, W/2 и 10.

Применяя теорему косинусов к обоим треугольникам, получаем:

(x^2) = (L/2)^2 + (L/2)^2 - 2(L/2)(L/2)cos(60) = (L^2)/2 - (L^2)/4 = (L^2)/4

(W/2)^2 = 10^2 + (W/2)^2 - 2(10)(W/2)cos(60) = (W^2)/4 - 10W/2

Так как прямоугольник делится на две равные части, то x = W/2. Подставляя это в первое уравнение, получаем:

(W^2)/4 = (L^2)/4

Отсюда следует, что W = L.

Теперь подставляем это во второе уравнение:

(L^2)/4 = (W^2)/4 - 10W/2

L^2 = W^2 - 20W

L^2 - W^2 = -20W

(L + W)(L - W) = -20W

Так как L = W, то:

2L(L - W) = -20W

2L^2 - 2LW = -20W

2L^2 + 20W = 2LW

L^2 + 10W = LW

Так как отрезок прямой внутри прямоугольника равен 10, то L - 10 = W/2.

Подставляем это в предыдущее уравнение:

(L - 10)^2 + 10W = LW

L^2 - 20L + 100 + 10W = LW

L^2 - LW - 20L + 10W + 100 = 0

Поскольку нам нужно найти большую сторону прямоугольника, L должно быть больше W. Поэтому мы выбираем корень уравнения, который соответствует этому условию:

L = (W + sqrt(W^2 - 4(10W + 100)))/2

Подставляя L = W, получаем:

W = (W + sqrt(W^2 - 4(10W + 100)))/2

2W = W + sqrt(W^2 - 4(10W + 100))

W = sqrt(W^2 - 4(10W + 100))

W^2 = W^2 - 4(10W + 100)

0 = -40W - 400

40W = -400

W = -10

Таким образом, большая сторона прямоугольника равна 10.