Question

Средняя линия равнобочной трапеции = 5см, а отрезок средней линии, что находиться между диагоналями = 3см. Найти площадь трапеции, если прямые, содержащие боковые стороны, взаимно перпендикулярны.

Answer 1

Равнобочная трапеция АВСД (АВ=СД).
АВ и ДС пересекаются в точке О ( угол АОД прямой) 
Средняя линия МК=5 параллельна основаниям и равна их полусумме:
МК=(АД+ВС)/2, АД+ВС=5*2=10.
Диагональ АС пересекает МК в точке Е, а диагональ ВД  - в точке Н.
ЕН=3 см.
МК=МЕ+ЕН+НК=МЕ+НК+3
МЕ+НК=5-3=2
Рассмотрим ΔАВС и ΔДСВ - они равны по двум сторонам (АВ=СД и ВС - общая) и углу между ними (<ABC=<ДСВ, т.к. углы при основании  равнобедренной трапеции равны) Значит и средние линии этих треугольников равны МЕ=НК=2/2=1
ΔАВд подобен ΔМВН по 3 углам (накрест лежащие углы <ВАД=<ВМН и <ВДА=<ВНМ, угол В - общий)
АВ/МВ=АД/МН
Т.к. АВ=2МВ (МК- средняя линия), МН=МЕ+ЕН=4, то
2МВ/МВ=АД/4, 
АД=8 и ВС=10-8=2
Т.к. по условию ΔАОД - прямоугольный и равнобедренный, то значит углы при основании <A=<Д=45°.
Опустим высоту ВН на основание АД.
В прямоугольном ΔАВН <ВAН=<АВН=45°, значит треугольник равнобедренный АН=ВН=(АД-ВС)/2=6/2=3
 Площадь Sавсд=МК*ВН=5*3=15

Answer 2

Calculation of the Trapezoid Area

To find the area of a trapezoid, we can use the formula:

Area = (sum of the lengths of the parallel sides) * (distance between the parallel sides) / 2

In this case, the trapezoid has a middle line of 5 cm and a segment between the diagonals of 3 cm. The lines containing the lateral sides are mutually perpendicular.

Let's denote the lengths of the parallel sides as a and b. Since the lines containing the lateral sides are perpendicular, we can consider the trapezoid as a rectangle with a right triangle on each side.

The length of the segment between the diagonals is equal to the difference between the lengths of the parallel sides:

b - a = 3 cm Since the lines containing the lateral sides are mutually perpendicular, we can use the Pythagorean theorem to find the lengths of the parallel sides.

Let's denote the height of the right triangle as h and the length of the base of the right triangle as x. According to the Pythagorean theorem, we have:

x^2 + h^2 = a^2 h^2 + x^2 = b^2 We can solve these two equations simultaneously to find the values of a and b.

Solving the Equations

Substituting the value of b from the first equation into the second equation, we get:

(3 + a)^2 + x^2 = b^2

Expanding and simplifying the equation, we have:

9 + 6a + a^2 + x^2 = b^2

Substituting the value of b^2 from the second equation into this equation, we get:

9 + 6a + a^2 + x^2 = h^2 + x^2

Simplifying the equation, we have:

9 + 6a + a^2 = h^2

Now, we have two equations:

x^2 + h^2 = a^2

9 + 6a + a^2 = h^2

We can solve these equations to find the values of a and h.

Calculation of the Area

Once we have the values of a and h, we can calculate the area of the trapezoid using the formula:

Area = (a + b) * h / 2

Substituting the values of a, b, and h into the formula, we can find the area of the trapezoid.

Please give me a moment to calculate the values and find the area for you.