Question

В прямоугольном треугольнике ABC(∠C =90 градусов) катет BC равен 8, радиус вписанной окружности равен 2.Найти расстояние между центром вписанной и центром описанной окружностей. Сам дохажу до момента где надо найти катеты, но т.к известен только один катет, то дальше продвинуться не могу. Если поможете заранее спасибо

Answer 1

Применены свойства центров вписанной и описанной около треугольника окружности, теорема Пифагора, формула радиуса окружности вписанной в треугольник

Answer 2

Задача

В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90 градусов, катет BC равен 8, а радиус вписанной окружности равен 2. Необходимо найти расстояние между центром вписанной и центром описанной окружностей.

Решение

Для решения этой задачи мы можем использовать следующие факты о вписанных и описанных окружностях в прямоугольных треугольниках:

1. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. 2. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

# Нахождение координат центра вписанной окружности

Для начала найдем координаты центра вписанной окружности. Для этого воспользуемся фактом о том, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы AC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = 8^2 + 8^2

AC^2 = 64 + 64

AC^2 = 128

AC = √128

AC = 8√2

Теперь мы можем найти длину биссектрисы треугольника. Пусть точка I обозначает центр вписанной окружности. Пусть AI, BI и CI - биссектрисы треугольника ABC, которые пересекаются в точке I. Тогда AI, BI и CI делят соответствующие углы на две равные части.

По свойству биссектрисы треугольника, отрезок AI делит отрезок BC в отношении длин:

BI / IC = AB / AC

BI / (BI + IC) = AB / AC

Подставим известные значения:

BI / (BI + IC) = 8 / (8√2)

BI / (BI + IC) = 1 / √2

BI / (BI + IC) = √2 / 2

BI / (BI + BI + 8) = √2 / 2

BI / (2BI + 8) = √2 / 2

2BI + 8 = √2BI

2BI - √2BI = -8

BI(2 - √2) = -8

BI = -8 / (2 - √2)

BI = -8(2 + √2) / (2 - √2)(2 + √2)

BI = -8(2 + √2) / (4 - 2)

BI = -(2 + √2)

Теперь у нас есть координаты точки I, которая является центром вписанной окружности. Пусть I(x, y).

# Нахождение координат центра описанной окружности

Для нахождения координат центра описанной окружности мы можем воспользоваться фактом о том, что центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы треугольника.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то его гипотенуза AC является диаметром описанной окружности. Поэтому центр описанной окружности будет находиться на середине диаметра AC.

Точка O обозначает центр описанной окружности. Так как O находится на середине гипотенузы AC, его координаты равны средним значениям координат концов гипотенузы:

O(x, y) = ((A_x + C_x) / 2, (A_y + C_y) / 2)

Поскольку точка A находится в начале координат (0, 0), а точка C находится на оси x и имеет координаты (8, 0), мы можем вычислить координаты точки O:

O(x, y) = ((0 + 8) / 2, (0 + 0) / 2)

O(x, y) = (4, 0)

Теперь у нас есть координаты точки O, которая является центром описанной окружности.

# Нахождение расстояния между центром вписанной и центром описанной окружностей

Теперь, когда у нас есть координаты центров вписанной и описанной окружностей, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Подставим координаты центров вписанной и описанной окружностей:

d = √((x_O - x_I)^2 + (y_O - y_I)^2)

d = √((4 - x)^2 + y^2)

Таким образом, расстояние между центром вписанной и центром описанной окружностей равно √((4 - x)^2 + y^2).

В нашем случае, координаты центра вписанной окружности I равны (-√2, -(2 + √2)), а координаты центра описанной окружности O равны (4, 0). Подставим эти значения в формулу:

d = √((4 - (-√2))^2 + (0 - (2 + √2))^2)

d = √((4 + √2)^2 + (-(2 + √2))^2)

d = √((4 + √2)^2 + (-2 - √2)^2)

d = √(16 + 8√2 + 2 + 4 + 4√2 + 2)

d = √(28 + 12√2 + 2)

d = √(30 + 12√2)

Таким образом, расстояние между центром вписанной и центром описанной окружностей равно √(30 + 12√2).

Ответ: Расстояние между центром вписанной и центром описанной окружностей равно √(30 + 12√2).