Question

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: У=3Х-1, У=0, Х=3, Х=4.

Answer 1

Смотри фото.Решение на двух фото. Решается с помощью интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, мы можем использовать метод интегрирования. Площадь под кривой между двумя точками определяется интегралом от одной функции до другой.

Заданные линии: 1. \( y = 3x - 1 \) 2. \( y = 0 \) 3. \( x = 3 \) 4. \( x = 4 \)

Первые две линии \( y = 3x - 1 \) и \( y = 0 \) определяют верхнюю и нижнюю границы фигуры.

Теперь найдем точки пересечения \( y = 3x - 1 \) и \( y = 0 \): \[ 3x - 1 = 0 \] \[ 3x = 1 \] \[ x = \frac{1}{3} \]

Таким образом, точка пересечения линий \( y = 3x - 1 \) и \( y = 0 \) равна \( \left(\frac{1}{3}, 0\right) \).

Теперь интеграл для вычисления площади: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx \]

Где: - \( f(x) \) - верхняя функция (в данном случае, \( y = 3x - 1 \)) - \( g(x) \) - нижняя функция (в данном случае, \( y = 0 \)) - \( a \) и \( b \) - точки пересечения кривых, то есть \( \frac{1}{3} \) и \( 3 \).

\[ S = \int_{\frac{1}{3}}^{3} ((3x - 1) - 0) \,dx \]

Теперь вычислим этот интеграл:

\[ S = \left[\frac{3}{2}x^2 - x\right]_{\frac{1}{3}}^{3} \]

\[ S = \left(\frac{3}{2}(3)^2 - 3\right) - \left(\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3}\right) \]

\[ S = \left(\frac{27}{2} - 3\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \]

\[ S = \frac{21}{2} - \frac{1}{6} \]

\[ S = \frac{125}{6} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 3x - 1 \), \( y = 0 \), \( x = 3 \) и \( x = 4 \), равна \( \frac{125}{6} \).