Question

В параллелограмме ABCD проведены высоты AM и AN. Найдите периметр параллелограмма, если AM=8 см, AN=11 см, угол BCD=30 градус.

Answer 1

Проведем высоты АN к стороне ВС, АM к стороне СD
Угол В-углу D(как противоположные)= 30 гр
Треугольник АВN прямоугольный, катет АN  лежит против угла в 30 гр⇒ равен половине гипотенузы АВ ⇒АВ= 11*2=22
Треугольник АМD прямоугольный, катет АМ лежит против угла в 30 гр⇒ равен половине гипотенузы АD⇒АD=8*2=16
P=(22+16)*2=76

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства параллелограмма и тригонометрические соотношения.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине. 2. Противоположные углы параллелограмма равны.

Решение

1. Мы знаем, что AM и AN являются высотами параллелограмма ABCD. Поскольку высоты перпендикулярны к основанию, AM и AN являются высотами, опущенными из вершин B и C соответственно. 2. Мы также знаем, что угол BCD равен 30 градусам. 3. Поскольку AM является высотой, она перпендикулярна к стороне BC. Это означает, что угол MAB является прямым (90 градусов). 4. Так как противоположные углы параллелограмма равны, угол BCD также равен 90 градусов. 5. Теперь у нас есть два прямых угла (MAB и BCD) и один угол BCD равен 30 градусам. Из этих данных мы можем найти угол BDC. 6. Угол BDC = 180 градусов - угол BCD - угол MAB = 180 градусов - 30 градусов - 90 градусов = 60 градусов. 7. Так как угол BDC равен 60 градусов, угол ADC также равен 60 градусов (поскольку противоположные углы параллелограмма равны). 8. Теперь мы знаем углы параллелограмма ABCD: угол BCD = 30 градусов, угол BDC = 60 градусов и угол ADC = 60 градусов. 9. Мы также знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны. Так как AM является высотой, она перпендикулярна к стороне BC, поэтому сторона BC равна 8 см. Аналогично, сторона AD равна 11 см. 10. Чтобы найти периметр параллелограмма, мы должны сложить все его стороны. 11. Периметр параллелограмма ABCD = AB + BC + CD + DA. 12. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, AB = CD и BC = DA. 13. Значит, периметр параллелограмма ABCD = AB + BC + CD + DA = AB + AB + BC + BC. 14. Периметр параллелограмма ABCD = 2AB + 2BC.

Теперь давайте найдем значения AB и BC.

Нахождение AB

15. Мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC с углом BCD = 30 градусов, сторонами BC и AB, и между ними лежащим углом BAC. 16. В этом случае, AB^2 = BC^2 + AM^2 - 2 * BC * AM * cos(BCD). 17. Подставляя известные значения, получаем AB^2 = 8^2 + 11^2 - 2 * 8 * 11 * cos(30). 18. AB^2 = 64 + 121 - 176 * 0.866 = 64 + 121 - 152.416 = 32.584. 19. AB = √(32.584) ≈ 5.71 см.

Нахождение BC

20. Мы можем использовать теорему синусов для треугольника ABC с углом BCD = 30 градусов, сторонами BC и AB, и противолежащими углами BCD и BAC. 21. В этом случае, BC/sin(BAC) = AB/sin(BCD). 22. Подставляя известные значения, получаем BC/sin(60) = 5.71/sin(30). 23. BC/√3 = 5.71/(1/2) = 5.71 * 2 = 11.42. 24. BC = 11.42 * √3 ≈ 19.79 см.

Нахождение периметра

25. Подставляя значения AB и BC в формулу периметра, получаем периметр параллелограмма ABCD = 2 * 5.71 + 2 * 19.79 = 11.42 + 39.58 = 51 см.

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен 51 см.