Question

В прямоугольном треугольнике ABC катеты BC=4 и AC=12. На прямой АС взята точка D так, что AD:DC=3. Найдите синус угла ABD

Answer 1

Решение в скане..............

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему синусов. Дано, что катеты прямоугольного треугольника ABC равны BC = 4 и AC = 12. Точка D находится на прямой AC так, что отношение AD:DC = 3.

Расчет стороны AB

Для начала, давайте найдем сторону AB прямоугольного треугольника ABC, используя теорему Пифагора. Вспомним, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Используя эту формулу, мы можем выразить сторону AB: AB^2 = AC^2 - BC^2

Подставляя значения, получаем: AB^2 = 12^2 - 4^2 AB^2 = 144 - 16 AB^2 = 128 AB = sqrt(128) AB = 8√2

Расчет стороны BD

Теперь найдем сторону BD, используя отношение AD:DC = 3.

Пусть x обозначает длину AD, тогда длина DC будет равна 3x.

Сумма сторон AD и DC должна быть равна стороне AC: AD + DC = AC x + 3x = 12 4x = 12 x = 3

Теперь мы знаем, что AD = 3 и DC = 3 * 3 = 9.

Теперь мы можем найти сторону BD, используя теорему Пифагора: BD^2 = AB^2 - AD^2 BD^2 = (8√2)^2 - 3^2 BD^2 = 128 - 9 BD^2 = 119 BD = sqrt(119)

Расчет синуса угла ABD

Наконец, чтобы найти синус угла ABD, мы можем использовать отношение противоположной стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Синус угла ABD = противоположная сторона (BD) / гипотенуза (AB)

Подставляя значения, получаем: sin(ABD) = BD / AB sin(ABD) = sqrt(119) / (8√2) sin(ABD) = sqrt(119) / (8 * sqrt(2)) sin(ABD) = sqrt(119) / (8 * sqrt(2)) * (sqrt(2) / sqrt(2)) (умножаем на sqrt(2) / sqrt(2), чтобы избавиться от корня в знаменателе) sin(ABD) = sqrt(238) / (8 * 2) sin(ABD) = sqrt(238) / 16

Таким образом, синус угла ABD равен sqrt(238) / 16.