Question

Найти косинус угла между непересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней правильной треугольной призмы, у которой боковое ребро равно стороне основания

Answer 1

Призма АВСА1В1С1, через ее вершину А1 проведем прямую, которая параллельна диагонали В1С.  Точка D пересечение В1С с плоскостью основания призмы АВС.  
А1В1 параллельна плоскости АВС и плоскости A1В1СD, значит А1В1 параллельна СD,
а А1В1СD-параллелограмм.   
АВ параллельна А1В1 и АВ=А1В1, значит АВ параллельна СD, AB=CD и АВСD-ромб.
диагонали ромба АС и ВD пересекаются под прямым углом в точке О и делятся пополам, значит А1О в равнобедренном треугольнике А1ВD является биссектрисой, медианой и высотой: <ВА1О=<DA1O=1/2<BA1D.  
Угол между непересекающимися диагоналями А1В и В1С равен углу ВА1D.  
Исходя из условия АВ=ВВ1 обозначим через а,
тогда диагональ квадрата А1В=а√2
высота равностороннего треугольника ВО=а√3/2
sin BA1O =BO/A1B=a√3/2a√2=√3/2√2
cos<BA1O=1-2sin²<BA1O=1-2(√3/2√2)²=1-3/4=1/4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться геометрическими свойствами правильной треугольной призмы. Давайте обозначим следующие величины:

- \(AB\) и \(CD\) — основания призмы (проекции треугольника на плоскость основания). - \(AC\) и \(BD\) — боковые рёбра призмы. - \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно. - \(O\) — центр основания призмы.

Так как у нас правильная треугольная призма, то углы при основании равны 60 градусам. Также треугольник \(ACO\) является равносторонним.

Рассмотрим треугольники \(ACO\) и \(BDO\). У них углы при вершине равны, так как это углы при основании правильной треугольной призмы. Таким образом, треугольники равны, и их стороны пропорциональны.

Обозначим угол между диагоналями через \(\theta\). Тогда косинус этого угла можно выразить через отношение сторон треугольников \(ACO\) и \(BDO\):

\[\cos(\theta) = \frac{AO}{BO}.\]

Так как треугольник \(ACO\) равносторонний, то \(AO = CO = \frac{1}{2}AC\). Аналогично, в треугольнике \(BDO\) получаем, что \(BO = DO = \frac{1}{2}BD\).

Таким образом, у нас получается:

\[\cos(\theta) = \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}BD} = \frac{AC}{BD}.\]

Теперь давайте выразим \(AC\) и \(BD\) через стороны основания и боковое ребро.

Так как треугольник \(ACO\) равносторонний, то его сторона \(AC\) равна \(AB\), стороне основания призмы.

Треугольник \(BCD\) — прямоугольный треугольник, и его гипотенуза \(BD\) равна боковому ребру призмы, а катет \(BC\) равен половине основания, то есть \(\frac{1}{2}AB\).

Таким образом, мы имеем:

\[AC = AB, \quad BD = \sqrt{\left(\frac{1}{2}AB\right)^2 + (AB)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}AB.\]

Подставим эти выражения в формулу для \(\cos(\theta)\):

\[\cos(\theta) = \frac{AC}{BD} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{5}}{2}AB} = \frac{2}{\sqrt{5}}.\]

Таким образом, косинус угла между диагоналями равен \(\frac{2}{\sqrt{5}}\).