Question

Нужна помощь в решении.Площадь S треугольника выражается через длины а и b его сторон формулой S = 1/4 (а^2 + b^2). Найдите углы треугольника.Указание: воспользуйтесь неравенством a/b+b/a>=2. Ответ: 45,45,90.

Answer 1

 
 $S_{ABC} = \frac{a^2+b^2}{4}$ 
 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2\\ \frac{4S}{ab} \geq 2\\ 2S \geq ab\\ S \geq \frac{ab}{2}$ 
то есть треугольник прямоугольный так как $S_{ABC}=\frac{a*b*sin90}{2} = \frac{a*b}{2}$ 
Но неравенства выполняется тогда и только тогда когда $a=b$ , это следует        о неравенство о средних  
 
 $a^2+b^2 \geq 2ab\\ \frac{2ab}{ab} \geq 2$ 
 
Треугольник равнобедренный 
 $90;45;45$

 

Answer 2

Дано, что площадь треугольника S выражается через длины его сторон a и b формулой S = 1/4 (a^2 + b^2).

Найдем углы треугольника. Пусть A, B и C - вершины треугольника, а a, b и c - соответствующие стороны.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Пусть углы A, B и C обозначаются соответственно α, β и γ.

Тогда имеем следующие соотношения между сторонами и углами:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(α) b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos(β) c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ)

Заметим, что сумма двух величин a/b и b/a равна (a^2 + b^2) / ab.

Исходя из указания о неравенстве a/b + b/a >= 2, можем записать:

(a^2 + b^2) / ab >= 2 a^2 + b^2 >= 2ab a^2 - 2ab + b^2 >= 0 (a - b)^2 >= 0

Так как квадрат любого числа неотрицательный, то (a - b)^2 >= 0 всегда будет выполняться.

Это значит, что неравенство a/b + b/a >= 2 выполняется для любых значений a и b.

Таким образом, мы получаем, что углы треугольника A и B равны между собой и составляют 45 градусов, а угол C равен 90 градусов.

Ответ: углы треугольника равны 45, 45 и 90 градусов.