Question

В прямоугольном треугольнике найдите отношение меньшего катета к большему, если радиусы вписанной и описанной окружностей относятся как 4:13

Answer 1

Давай с чертежом разберёмся. Цент вписанной в треугольник окружности - это пересечение биссектрис, а центр описанной окружности - это середина гипотенузы ( 90 градусов - это вписанный угол и измеряется половиной дуги, на которую опирается, значит опирается на диаметр окружности)
теперь разбираемся с отношением  r:R  =  4:13
4:13 - это части, которые приходятся на r  и  R . Одну часть примем за х, тогда r = 4x   и    R = 13x. Тогда гипотенуза = 26 х
Теперь считаем, что у нас есть 3 данных: r, R и гипотенуза АС ( АС - диаметр описанной окружности)
Теперь разбираемся с точками касания вписанной окружности и треугольника. Давай с буквами разберёмся.ΔАВС, АС - гипотенуза, АВ и ВС - катеты.На АВ точка касания М, на ВС точка касания N, на АС точка касания К. Рассматриваем отрезки касательных. ВМ = ВN = r = 4x , АМ = АК = y, 
NС = КС = 26x - y
теперь выразим катеты: АВ = 4х + у, ВС = 4х + 26х - у = 30х - у.
Теперь пишем т. Пифагора:
(4х + у)² + ( 30х - у)² = (26у)²
Упрощаем
у² - 26 у + 120 х² = 0
Решаем относительно у
у = 13х +-√(169х² - 120х²) = 13х +-7х
у1 = 20 х     у2 = 6х
а) у1 = 20х
АВ = 4х + у = 24х
ВС = 30х - у = 10х
Теперь ищем отношение катетов: ВС:АВ= 10х : 24х = 5:12
б) у2 = 6х
АВ = 4х + у = 10х
ВС = 30х -у = 24х
Ищем отношение катетов: АВ:ВС=10х : 24Х = 5:12 

Answer 2

В прямоугольном треугольнике найдите отношение меньшего катета к большему, если радиусы вписанной и описанной окружностей относятся как 4:13.

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие формулы:

- Радиус вписанной окружности равен половине разности гипотенузы и суммы катетов: $$r = \frac{c - (a + b)}{2}$$ - Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $$R = \frac{c}{2}$$ - Теорема Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов, причём $a < b$. Тогда отношение меньшего катета к большему равно $$\frac{a}{b}$$

Из условия задачи мы знаем, что $$\frac{r}{R} = \frac{4}{13}$$

Подставляя формулы для радиусов, получаем:

$$\frac{c - (a + b)}{2} \cdot \frac{2}{c} = \frac{4}{13}$$

Упрощая, получаем:

$$c - (a + b) = \frac{8}{13}c$$

Выражаем $c$ через $a$ и $b$ по теореме Пифагора:

$$(a + b)^2 - 2ab = \frac{8}{13}(a^2 + b^2)$$

Раскрываем скобки и переносим всё в одну часть:

$$\frac{5}{13}a^2 - \frac{34}{13}ab + \frac{5}{13}b^2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение относительно $\frac{a}{b}$:

$$\frac{a}{b} = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$$

Выбираем корень, который меньше единицы, так как $a < b$:

$$\frac{a}{b} = \frac{34 - \sqrt{816}}{10} \approx 0.32$$

Ответ: отношение меньшего катета к большему примерно равно 0.32.