Question

Прямая l пересекает смежные углы треугольника в различных точках. Докажите что прямая l лежит в плоскости прямоугольника

Answer 1

Потому что прямая плоская и к тому же пересекатся могут только прямые!

Answer 2

Для того чтобы доказать, что прямая \( l \) лежит в плоскости треугольника, нужно воспользоваться свойствами геометрии.

Пусть у нас есть треугольник \( ABC \), а прямая \( l \) пересекает смежные углы \( \angle ABC \) и \( \angle BCA \). Предположим, что эта прямая не лежит в плоскости треугольника. Это означает, что она выходит за пределы этой плоскости.

Теперь рассмотрим перпендикуляр \( h \) к плоскости треугольника \( ABC \) в точке \( B \). Этот перпендикуляр будет лежать в плоскости треугольника и пересекать прямую \( l \) в некоторой точке \( P \).

Поскольку прямая \( l \) выходит за пределы плоскости треугольника, точка \( P \) не может лежать на отрезке \( BC \), так как он лежит в этой плоскости. Значит, точка \( P \) должна лежать на продолжении отрезка \( BC \).

Теперь рассмотрим треугольник \( BCP \). В этом треугольнике точка \( P \) лежит на продолжении стороны \( BC \), а противоположный угол \( \angle BCP \) прямой, так как \( h \) перпендикулярен плоскости треугольника.

Таким образом, в треугольнике \( BCP \) у нас есть два угла, сумма которых больше 180 градусов, что невозможно в евклидовой геометрии. Это противоречие свидетельствует о том, что предположение о том, что прямая \( l \) не лежит в плоскости треугольника, неверно.

Следовательно, прямая \( l \) лежит в плоскости треугольника.