Question

Докажите что четырёхугольник ABCD является ромбом, если А ( 2;1;2), В ( 0;1;6), С ( 2;5;6), D( 0;5;2)

Answer 1

По координатам найдём длины сторон и диагоналей 
четырёхугольника ABCД.
Расстояние между точками.
d = √((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²)
     АВ              ВС             АС
 4.4721         4.4721        5.6569

    СД               ВД            АД
 4.4721         5.6569       4.4721.

По результатам расчёта видно, что стороны АВ, ВС, СД и АД равны между собой. И диагонали АС и ВД равны.
Поэтому заданная фигура не только ромб, но и квадрат.

Answer 2

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является ромбом, мы можем использовать свойства ромба и вычислить длины его сторон и диагоналей. Если все стороны равны и диагонали перпендикулярны, то это будет означать, что четырёхугольник ABCD является ромбом.

Для начала, давайте вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA.

Длина стороны AB: AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2] = √[(0 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (6 - 2)^2] = √[(-2)^2 + 0^2 + 4^2] = √[4 + 0 + 16] = √20 = 2√5

Длина стороны BC: BC = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2] = √[(2 - 0)^2 + (5 - 1)^2 + (6 - 6)^2] = √[2^2 + 4^2 + 0^2] = √[4 + 16 + 0] = √20 = 2√5

Длина стороны CD: CD = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2] = √[(2 - 0)^2 + (5 - 5)^2 + (6 - 2)^2] = √[2^2 + 0^2 + 4^2] = √[4 + 0 + 16] = √20 = 2√5

Длина стороны DA: DA = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2] = √[(0 - 2)^2 + (5 - 1)^2 + (2 - 6)^2] = √[(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2] = √[4 + 16 + 16] = √36 = 6

Теперь, чтобы проверить, что четырёхугольник ABCD является ромбом, нужно убедиться в равенстве длин всех его сторон. Мы видим, что AB = BC = CD = 2√5 и DA = 6, что означает, что все стороны равны.

Далее, давайте проверим, перпендикулярны ли диагонали AC и BD. Для этого, мы можем вычислить векторы AC и BD и проверить, равны ли их скалярные произведения нулю.

Вектор AC: AC = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (2 - 2, 5 - 1, 6 - 2) = (0, 4, 4)

Вектор BD: BD = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (0 - 0, 5 - 1, 2 - 6) = (0, 4, -4)

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AC и BD:

AC · BD = (0)(0) + (4)(4) + (4)(-4) = 0 + 16 - 16 = 0

Так как скалярное произведение равно нулю, мы можем сделать вывод, что диагонали AC и BD перпендикулярны.

Итак, мы выяснили, что все стороны четырёхугольника ABCD равны и его диагонали перпендикулярны. Следовательно, четырёхугольник ABCD является ромбом.