Question

У трикутнику ABC висота BH ділить сторону АС навпіл.Бісектриса трикутника AD дорівнює 15 сантиметрів.Знайдіть довжину бісектриси СЕ цього трикутника ?

Answer 1

Розв'язання:
Розглянемо Δ АВС. ВН - висота, ділить сторону АС навпіл, тобто  АН = НС, тоді ВН - медіана, а це означає, що Δ АВС рівнобедрений: АВ = ВС, ∠ А = ∠ С. 
Розглянемо Δ ABD і Δ CBE. 
АВ =  ВС  як бокові сторони рівнобедреного трикутника,
∠ В - спільний
∠ ВАD = ∠ А /2 (AD -бісектриса), ∠ ВСЕ = ∠С/2 (СЕ - бісектриса) ∠ BAD = ∠BCE 
Тоді Δ ABD = ΔCBE - за другою ознакою (за стороною і двома прилеглими кутами.
Це означає СЕ = AD, тобто СЕ = 15 см

Answer 2

Давайте розглянемо трикутник ABC. Відомо, що висота BH ділить сторону AC навпіл. Позначимо точку перетину висоти BH і сторони AC як точку M. Таким чином, AM = MC.

Також відомо, що бісектриса трикутника AD рівна 15 сантиметрів. Позначимо точку перетину бісектриси AD і сторони BC як точку N. Також позначимо точку перетину бісектриси AD і сторони AC як точку P.

Оскільки бісектриса AD ділить кут BAC навпіл, то ми можемо сказати, що кут BAN = CAN. Але AM = MC, тому кути BAN і CAN рівні, і тим самим трикутник ABC є рівнобедреним трикутником, оскільки сторони AB і BC рівні.

Тепер ми знаємо, що трикутник ABC є рівнобедреним, а отже, AM = MC = BC/2.

Також, оскільки бісектриса AD рівна 15 сантиметрів і ділить кут BAC навпіл, ми можемо застосувати теорему бісектриси:

AP/AB = DP/DB

Отже, AP/AB = 1/2 (оскільки точка D ділить сторону BC навпіл).

Ми також знаємо, що AM = MC = BC/2.

Тепер можемо записати вираз для AP:

AP = AB * (1/2) = AB/2

Також можемо записати вираз для BP:

BP = BC - AP = BC - AB/2

Оскільки AM = MC, то AM = AB/2.

Тепер розглянемо трикутник ABE, де E - це точка перетину бісектриси зі стороною AC. Застосуємо теорему бісектриси для цього трикутника:

CE/CA = BE/BA

Оскільки AM = AB/2, то AC = 2 * AM = AB.

Отже, CE/AB = BE/AB

CE = BE

Таким чином, точка E рівна точці B. Також ми вже встановили, що точка B рівна точці M.

Отже, довжина бісектриси СЕ дорівнює довжині сторони BC трикутника ABC.

Зазначено, що бісектриса AD дорівнює 15 сантиметрів. Таким чином, довжина сторони BC трикутника ABC також дорівнює 15 сантиметрам.

Отже, довжина бісектриси СЕ трикутника ABC дорівнює 15 сантиметрам.