Question

Точки А,В,С и К лежат на окружности так, что АК- диаметр, угол САК=20 градусов, угол ВАС=40 градусов. Найдите величину угла АВС

Answer 1

1) L ABC - вписанный, значит он в 2 раза меньше дуги , на которую опирается,

    т.е.  L ABC = 0,5 · ∪ АС.

2)   ∪ АС =   ∪ АК+ ∪ КС =180⁰ + 2·20⁰ = 220⁰ (!!! ∪ КС = 2·L CAK). 

 Таким образом  L ABC = 0,5 · ∪ АС= 0,5·220⁰= 110⁰.

 

Ответ: 110⁰. 

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами окружности и треугольников, образованными диаметром и хордами.

1. Диаметр и хорда: В данной задаче \(AK\) является диаметром окружности. Также известно, что угол \(CAK\) равен 20 градусам, а угол \(BAC\) равен 40 градусам.

2. Свойства углов в окружности: Угол, поддерживаемый хордой на окружности, равен половине центрального угла, заключенного между концами хорды. Таким образом, угол \(CSB\), где \(S\) - середина хорды \(AB\), равен половине угла \(CAB\).

3. Свойства треугольника: В треугольнике \(ABC\) с углом \(CAB = 40^\circ\), угол \(CSB\) равен половине этого угла.

Теперь давайте выразим угол \(CSB\):

\[\text{Угол } CSB = \frac{1}{2} \cdot \text{Угол } CAB = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ\]

Теперь мы знаем, что угол \(CSB\) равен 20 градусам. Также известно, что угол \(CAK\) равен 20 градусам. Следовательно, угол \(CSA\) равен \(20^\circ - 20^\circ = 0^\circ\), и точка \(S\) совпадает с точкой \(A\).

Теперь у нас есть треугольник \(CAB\), и угол \(CSB\) равен 20 градусам. Угол \(CAB\) равен 40 градусам. Таким образом, угол \(CAB\) делится хордой \(AB\) и точкой \(S\) на два угла \(CSB\) и \(BSA\).

\[BSA = CAB - CSB = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ\]

Таким образом, угол \(BSA\) равен 20 градусам. Теперь у нас есть все три угла треугольника \(ABS\), и их сумма равна 180 градусам:

\[CSA + BSA + CAB = 0^\circ + 20^\circ + 40^\circ = 60^\circ\]

Таким образом, величина угла \(ABC\) равна \(60^\circ\).