Question

Одна из сторон треугольника лежит в плоскости a.Докажите,что прямая,проходящая через середины двух других сторон треугольника,параллельна плоскости a

Answer 1

Дано:треугольник АВС, плоскость а, прямая с,пересекающая АВ и ВС в точках М и К.МА=МВ,КВ=КС.АС принадлежит а.
Доказать:с параллельна а.
Док-во:
Если МА=МВ,КВ=КС,тогда МК-средняя линия и МК параллельна АС.Т.к. АС принадлежит а,следовательно с параллельна а(по теореме: Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости).

Answer 2

Для доказательства этого факта воспользуемся свойствами параллельных прямых и пропорциональности отрезков.

Пусть треугольник ABC имеет стороны AB, BC и CA, причем сторона AB лежит в плоскости a. Обозначим середины сторон BC и CA как M и N соответственно. Чтобы доказать, что прямая MN параллельна плоскости a, достаточно показать, что она перпендикулярна нормали к плоскости a.

Пусть O - точка пересечения прямых MN и AB. Тогда по свойству серединных перпендикуляров, отрезок AO будет равен отрезку OB и будет перпендикулярен прямой AB. Также, по свойству серединных перпендикуляров, отрезок MO будет равен отрезку NO.

Рассмотрим треугольник AMO. Он имеет две стороны AO и MO, которые равны друг другу, и угол AOM, который равен 90 градусов (так как AO перпендикулярен AB). Из этих данных следует, что треугольник AMO является прямоугольным.

Теперь рассмотрим треугольник BMO. Он также имеет две стороны BO и MO, которые равны друг другу, и угол BOM, который также равен 90 градусов (так как BO перпендикулярен AB). Из этих данных следует, что треугольник BMO также является прямоугольным.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника AMO и BMO. Они имеют общую сторону MO и равные катеты AO и BO. По свойству прямоугольных треугольников, гипотенузы этих треугольников (AM и BM) также равны.

Таким образом, мы доказали, что отрезки AM и BM равны друг другу. По определению середины отрезка, точка M является серединой стороны AB треугольника ABC.

Таким образом, прямая MN, проходящая через середины сторон BC и CA треугольника ABC, параллельна плоскости a.