Question

Докажите что четырехугольник вершины которого середины квадрата , - квадрат. Пожалуста нужно срочно.

Answer 1

Пусть в квадрате ABCD точки E,F,G,H - середины сторон AB, BC, CD, AD соответственно. Обозначим сторону квадрата за x. Тогда треугольники EBF, FCG, GDH, HAE равны, так как они прямоугольные и их катеты равны x/2. Тогда гипотенузы этих треугольников также равны, то есть, отрезки EF, FG, GH, HE равны и EFGH - ромб. Диагонали EG и FH этого ромба равны (каждая из них равна стороне квадрата), а раз в ромбе диагонали равны, то этот ромб - квадрат, что и требовалось доказать. 

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон квадрата, является квадратом, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Пусть ABCD - исходный квадрат, где A, B, C и D - вершины квадрата, а M, N, P и Q - середины соответствующих сторон.

2. Для начала, рассмотрим стороны квадрата. Очевидно, что стороны AM и MD равны, так как они являются половинами стороны AD. Аналогично, стороны BM и MC, CN и ND, DP и PA также равны.

3. Далее, рассмотрим углы четырехугольника MNQP. Угол NMQ равен прямому углу, так как он является углом между прямыми NM и MQ, которые являются серединными перпендикулярами к сторонам квадрата. Аналогично, угол MPQ, NQP и PNQ также равны прямому углу.

4. Теперь можно сделать вывод, что все стороны четырехугольника MNQP равны, так как они являются половинами соответствующих сторон квадрата, а все углы равны прямому углу.

Таким образом, получаем, что четырехугольник MNQP является квадратом, так как все его стороны равны и все углы прямые.