Question

Шар, вписаный в правильную трикутнкую пирамиду, плоский угол при вершине пирамиды равен альфа, сторона = a. найти радиус шара

Answer 1

Ответ в приложенном рисунке. Если будут вопросы - пишите в "личку".

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание о свойствах вписанного шара в правильную трикутную пирамиду.

Угол при вершине пирамиды, который образуется плоскостью сечения, проходящей через вершину пирамиды и центр шара, равен альфа. Также известно, что радиус шара является радиусом вписанной окружности, которая касается всех граней пирамиды.

Рассмотрим основание пирамиды. Оно является правильным треугольником, у которого все стороны равны стороне a. Поскольку треугольник является правильным, то угол между любыми двумя его сторонами равен 60 градусам.

Теперь рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Она также является правильным треугольником, у которого все стороны равны стороне a. Угол между сторонами этого треугольника и основанием пирамиды равен 90 градусам (поскольку пирамида правильная и основание перпендикулярно боковым граням).

Теперь рассмотрим вписанную окружность. Она касается всех граней пирамиды. Поскольку основание пирамиды и боковые грани являются правильными треугольниками, то радиус вписанной окружности будет равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник.

По формуле для радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник, радиус равен половине длины стороны треугольника, то есть r = a/2.

Таким образом, радиус шара, вписанного в правильную трикутную пирамиду, равен половине длины стороны пирамиды, то есть r = a/2.