Question

Высота цилиндра в два раза больше радиуса его основания.Точками A,B,C окружность нижнего основания цилиндра разделена на три равные части.Образующие,проходящие через эти три точки,пересекают окружность верхнего основания в точках A1,B1иC1 соответсвенно.Найдите радиус основания и высоту цилиндра если:а)периметр треугольника ABC1 равен 50 смб)расстояние от точки С1 до прямой AB равно 30 смв)рассстояние от точки B до прямой АС1 равно 20 см

Answer 1

Заметим, что АВ = ВС = СА = А1В1 = А1С1 = В1С1 = r√3 (сторона правильного треугольника с заданым радиусом описанной окружности). Также AA1 = BB1 = CC1 = 2r.
а) Р(АВС1) = АВ + ВС1 + С1А = АВ + √(ВС² + СС1²) + √(АС² + СС1²) = r√3 + 2r√7 = 50, отсюда находим r и высоту, равную 2r.
б) Расстояние х от точки С1 до прямой АВ можно найти так:
х = √(СС1² + СХ²) = 2,5r = 30, отсюда находим r и высоту, равную 2r. (Х - середина АВ).
в) Возьмем треугольник из пункта а). В треугольнике АВС1 высота из точки В равна 5r√(3/28) = 20, отсюда r и 2r.

Answer 2

а) Пусть радиус основания цилиндра равен r, тогда высота цилиндра будет равна 2r.

Периметр треугольника ABC1 состоит из трех отрезков: AB, BC1 и C1A1. Так как AB - это дуга окружности, которая делится на три равные части точками A, B и C, то AB составляет 1/3 от окружности нижнего основания. Значит, длина AB равна (1/3) * 2πr = (2/3)πr.

Также известно, что BC1 и C1A1 - это образующие цилиндра, проходящие через точки B и C1, и C1 и A1 соответственно. Эти образующие пересекают окружность верхнего основания в точках B1 и C1 соответственно. Так как окружность верхнего основания имеет такой же радиус r, то длина образующих BC1 и C1A1 также равна (2/3)πr.

Таким образом, периметр треугольника ABC1 равен AB + BC1 + C1A1 = (2/3)πr + (2/3)πr + (2/3)πr = (6/3)πr = 2πr.

Из условия задачи известно, что периметр треугольника ABC1 равен 50 см. Поэтому 2πr = 50. Решая это уравнение, получаем:

2πr = 50 r = 50 / (2π) r ≈ 7.96 см

Таким образом, радиус основания цилиндра примерно равен 7.96 см, а его высота равна 2r = 2 * 7.96 ≈ 15.92 см.

б) Расстояние от точки C1 до прямой AB равно 30 см. Это расстояние является перпендикуляром, опущенным из точки C1 на прямую AB. Так как прямая AB проходит через точки A, B и C, то она является образующей цилиндра.

Таким образом, расстояние от точки C1 до прямой AB равно радиусу основания цилиндра, то есть 30 см.

в) Расстояние от точки B до прямой АС1 равно 20 см. Это расстояние также является перпендикуляром, опущенным из точки B на прямую АС1. Так как прямая АС1 также проходит через точки A, B и C, то она является образующей цилиндра.

Таким образом, расстояние от точки B до прямой АС1 также равно радиусу основания цилиндра, то есть 20 см.