Question

докажите, что биссектрисы, проведенные из углов треугольника, делят его на три равновеликих треугольника

Answer 1

Биссектисы треугольника сходятся все в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности. Высоты всех этих треугольников равны между собой h1=h2=h3=r и равны радиусу вписанной окружности.

Площадь каждого тр-ка равна половине произведения стороны на высоту S=a*h/2.

поскольку стороны тр-ка не равны между собой, то при равных высотах не равны и площади тр-ков.

Ответ:  биссектрисы, проведенные из углов треугольника, делят его на три равновеликих треугольника только в равностороннем треугольнике. Чтобы получить равновеликие треугольники проведите медианы.

Answer 2

Биссектрисы треугольника

Биссектрисы треугольника - это линии, которые делят углы треугольника на две равные части. Если биссектрисы проведены из вершин треугольника, то они пересекаются в одной точке, которая называется центром вписанной окружности треугольника.

Доказательство

Для доказательства того, что биссектрисы, проведенные из углов треугольника, делят его на три равновеликих треугольника, мы можем использовать следующий аргумент:

Пусть у нас есть треугольник ABC. Проведем биссектрисы из углов A, B и C, и пусть они пересекаются в точке O. Мы хотим доказать, что треугольники AOB, BOC и COA равновелики.

Для начала, заметим, что угол AOB равен половине угла AOC, так как биссектриса делит угол AOC на две равные части. Аналогично, угол BOC равен половине угла BOD, и угол COA равен половине угла COB.

Теперь обратимся к треугольникам AOC и BOD. Мы знаем, что угол AOC равен углу BOD, так как они являются смежными углами. Кроме того, угол ACO равен углу BDO, так как они являются вертикальными углами. Таким образом, треугольники AOC и BOD равны по двум углам и стороне между ними (по стороне OB).

Аналогично, можно доказать, что треугольники BOC и COA равновелики.

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC делится биссектрисами на три равновеликих треугольника AOB, BOC и COA.

Примечание

Доказательство, представленное выше, основано на свойствах биссектрис и равенства углов. Если вам нужны более подробные математические доказательства, рекомендуется обратиться к учебникам по геометрии или онлайн-ресурсам, где вы найдете более формальные и подробные объяснения.