Question

В треугольнике АВС равны стороны AВ и ВС, угол B в четыре раза меньше угла С, биссектрисы АК и СМ пересекаются в точке Р. Чему равен внешний угол при вершине Р треугольника АРС? Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Как я поняла:
так как треугольник abc равнобедренный,то можем найти градусные меры углов,из условия следует что угол В в четыре раза меньше угла С,то есть обозначаем  угол В за икс,а угол С в четыре раза больше то есть 4Х. составляем уравнение:
4х+4х+х=180
9х=180
х=20.отсюда следует что угол С=80
Найдём внешний угол при вершине Р. Так как этот угол образован пересечением биссектрис,то образуется равнобедренный треугольник АРС. Так как это биссектрисы,то угол РАС=РСА =80/2=40 .сумма углов треугольника равна 180 следовательно угол Р в треугольнике АРС=180-2*40=100,нам нужен внешний угол следовательно(т.к сумма смежных углов равна 180) 180-100=80 градусов
Ответ:внешний угол при вершине Р =80 градусам.

Answer 2

Given Information

We are given the following information about triangle ABC: - The sides AB and BC are equal. - Angle B is four times smaller than angle C. - The bisectors AK and SM intersect at point R.

We need to find the measure of the external angle at vertex R of triangle ARP, in degrees.

Solution

To find the measure of the external angle at vertex R, we need to determine the measure of angle PRC.

Let's break down the problem step by step:

1. Since sides AB and BC are equal, we can conclude that triangle ABC is an isosceles triangle. 2. In an isosceles triangle, the angles opposite the equal sides are also equal. 3. Therefore, angle A = angle C.

Now, let's use the given information that angle B is four times smaller than angle C:

4. Let's assume angle C = x degrees. 5. Therefore, angle B = (1/4) * x degrees.

Now, let's consider the bisectors AK and SM:

6. The bisectors AK and SM intersect at point R. 7. In a triangle, the bisectors of two angles intersect at a point that is equidistant from the sides of the triangle. 8. Therefore, point R is equidistant from sides AR and CR.

Now, let's consider triangle ARP:

9. Since point R is equidistant from sides AR and CR, we can conclude that angle PRC = angle PAR.

Finally, let's find the measure of angle PRC:

10. The sum of the angles in a triangle is 180 degrees. 11. Therefore, angle PRC = 180 - angle PAR - angle RPC.

Since angle PAR = angle PRC, we can rewrite the equation as:

angle PRC = (180 - angle PRC - angle RPC) / 2

Simplifying the equation:

2 * angle PRC = 180 - angle RPC

angle PRC = (180 - angle RPC) / 2

Now, let's substitute the values we know:

angle PRC = (180 - angle RPC) / 2

angle PRC = (180 - x) / 2

Therefore, the measure of the external angle at vertex R of triangle ARP is (180 - x) / 2 degrees.

Please note that we don't have the exact value of angle C (x) from the given information, so we cannot provide the exact measure of the external angle at vertex R.