Question

Точки М и Н - середины сторон АВ и АС треугольника АВС .Докажите что эти точки равноудалены от прямой ВС

Answer 1

MK_ _AC  и NH_ _AC, докажем, что MK=NH
Доказательство:
1) М - середина АВ ⇒АМ=МВ
    N - середина ВС⇒CN=NB
    тр АВС - р/б ⇒АМ=NC и уг ВАС = уг ВСА (по св-ву р/б тр АВС) (*)
2) Рассм тр АМК (уг К =90* по усл) и CNH (уг Н=90* по усл), они равны по гип и острому углу из (*) ⇒МК=NH

Answer 2

Для доказательства того, что точки М и Н равноудалены от прямой ВС, мы можем использовать свойство серединных перпендикуляров.

Предположим, что точка М находится на середине стороны AB, а точка Н - на середине стороны AC треугольника ABC.

Так как М является серединой стороны AB, то МС = МВ. Аналогично, так как Н является серединой стороны AC, то НВ = НС.

Мы знаем, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке - центре окружности, описанной около этого треугольника. Пусть центр этой окружности обозначается как О.

Таким образом, МО ⊥ AB и НО ⊥ AC. Поскольку М и Н являются серединными точками сторон AB и AC, соответственно, то МО и НО являются серединными перпендикулярами к этим сторонам.

Так как МО ⊥ AB и НО ⊥ AC, то МО || НО. То есть, МО и НО параллельны и имеют одинаковую длину.

Теперь рассмотрим треугольник ВСО. Мы знаем, что МО || НО и МО = НО. Таким образом, МОНО - это параллелограмм.

В параллелограмме МОНО противоположные стороны равны по длине. Следовательно, МС = НВ. То есть, точки М и Н равноудалены от прямой ВС.

Таким образом, мы доказали, что точки М и Н равноудалены от прямой ВС, используя свойство серединных перпендикуляров и параллелограмма МОНО.