Question

В прямоугольнике ABCD стороны AB=33, AD=56. Биссектриса угла АBD пересекает прямую CD в точке E, а биссектриса угла ADB пересекает прямую BC в точке F. Найдите квадрат длины отрезка EF.

Answer 1

Решение:

Используя равные углы биссектрисы и свойства параллельных прямых, получаем, что треугольники BDE и BDF равнобедренные. Тогда получаем равенства:

FB=BD=DE= √56^2+33^2 = √3136+1089 = √4225 = 65

 

В прямоугольном треугольнике FCE ∠C=90∘

FC=FB+BC=65+56 = 121

CE=CD+DE= 33+65 = 98

По теореме Пифагора:

EF= √CF2+CE2 = √121^2+98^2 = √14641+9604 = √24245.

Answer 2

EF= √CF2+CE2 = √121^2+98^2 = √14641+9604 = √24244.

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему о трёх биссектрисах. Согласно этой теореме, если в треугольнике две биссектрисы пересекаются, то третья биссектриса также проходит через эту точку пересечения и делит ее на две равные части.

Давайте рассмотрим треугольник ABD. Биссектриса угла ABD пересекает прямую CD в точке E. По теореме о трёх биссектрисах, биссектриса угла ADB также проходит через точку E и делит ее на две равные части. Обозначим точку пересечения биссектрисы угла ADB с прямой BC как F.

Таким образом, мы получаем, что точка E является серединой отрезка CF.

Чтобы найти квадрат длины отрезка EF, нам нужно найти длину отрезка CF. Для этого мы можем использовать теорему о треугольниках, согласно которой пропорции длин отрезков на параллельных прямых равны. В нашем случае, отрезок BC параллелен отрезку AD, поэтому мы можем записать следующую пропорцию:

BC/AD = CF/AD

Мы знаем, что AD = 56, поэтому можем переписать пропорцию:

BC/56 = CF/56

Теперь мы можем найти длину отрезка CF. Мы знаем, что сторона AB равна 33, поэтому сторона BC также равна 33. Мы можем подставить это значение в пропорцию:

33/56 = CF/56

Упрощая выражение, мы получаем:

33 = CF

Таким образом, длина отрезка CF равна 33. Так как точка E является серединой отрезка CF, то отрезок EF также имеет длину 33.

Наконец, чтобы найти квадрат длины отрезка EF, мы можем возвести его длину в квадрат:

(EF)^2 = (33)^2 = 1089

Таким образом, квадрат длины отрезка EF равен 1089.