Question

Высота прямоугольного треугольника разделила его на 2 треугольника, отношение площадей которых равно 4:9. Найдите тангенс меньшего из острых углов этого треугольника.

Answer 1

Назовем вершины А,В,С и пусть <А прямой ,а АД - высота. Из подобия ДВА и ДАС: (АС/AB)^2= (4x/9x)=4/9, AC/AB=2/3, но АС/АВ= tg ф=2/3

Answer 2

Пусть высота прямоугольного треугольника разделила его на два треугольника, площади которых имеют отношение 4:9. Пусть S1 и S2 - площади этих двух треугольников соответственно.

Так как отношение площадей треугольников равно 4:9, то мы можем записать следующее уравнение:

S1/S2 = 4/9

Так как площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты, мы можем записать следующие уравнения:

S1 = (1/2) * a * h1 S2 = (1/2) * a * h2

где a - длина основания треугольника, h1 и h2 - высоты этих треугольников.

Подставим эти значения в уравнение отношения площадей:

((1/2) * a * h1) / ((1/2) * a * h2) = 4/9

Упростим уравнение:

h1 / h2 = 4/9

Так как высота треугольника разделила его на два подобных треугольника, отношение высот будет равно отношению соответствующих сторон. Поэтому:

h1 / h2 = a1 / a2

где a1 и a2 - соответствующие стороны треугольников.

Так как треугольник прямоугольный, одна из его сторон будет основанием, а другая - высотой. Пусть a1 - основание большего треугольника, тогда a2 - основание меньшего треугольника.

Таким образом, мы можем записать:

h1 / h2 = a1 / a2 = a / a2

где a - длина основания большего треугольника.

Из уравнения h1 / h2 = 4/9 мы можем выразить a / a2:

a / a2 = 4/9

Теперь найдем тангенс меньшего из острых углов треугольника. Пусть этот угол обозначен как α.

Так как тангенс угла α равен отношению противоположной стороны к прилежащей стороне, мы можем записать:

tg(α) = h2 / a2

Теперь найдем это значение.

Из уравнения a / a2 = 4/9 мы можем выразить a2:

a2 = (9/4) * a

Подставим это значение в уравнение для тангенса:

tg(α) = h2 / [(9/4) * a]

Упростим:

tg(α) = (4/9) * h2 / a

Таким образом, тангенс меньшего из острых углов треугольника равен (4/9) * h2 / a.