Question

Окружность с центром О(5;4) отсекает от прямой х+2у-3=0 хорду длиной 8. Вычислите длину окружности и площадь круга, ограничиваемой дан-ной окружностью.

Answer 1

См. решение в приложении

Answer 2

Для решения задачи нам необходимо найти координаты точек пересечения прямой и окружности.

Уравнение прямой х + 2у - 3 = 0 можно представить в виде у = (3 - х)/2.

Теперь подставим это выражение в уравнение окружности (x - 5)² + (у - 4)² = R², где R - радиус окружности.

Получаем (x - 5)² + ((3 - х)/2 - 4)² = R².

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: (x - 5)² + (3 - х)²/4 - 4(3 - х)/2 + 16 = R².

Упрощаем: (x - 5)² + (3 - х)²/4 - 2(3 - х) + 16 = R².

Приводим подобные слагаемые: (x - 5)² + (9 - 6х + х²)/4 - 6 + 2х + 16 = R².

Общий знаменатель: (x - 5)² + (х² - 6х + 9)/4 + 2х + 10 = R².

Умножаем все слагаемые на 4, чтобы избавиться от дробей: 4(x - 5)² + х² - 6х + 9 + 8х + 40 = 4R².

Раскрываем скобки: 4x² - 40x + 100 + х² - 6х + 9 + 8х + 40 = 4R².

Складываем подобные слагаемые: 5x² - 38x + 149 = 4R².

Теперь найдем координаты точек пересечения прямой и окружности, решив систему уравнений:

Система уравнений: х + 2у - 3 = 0, 5x² - 38x + 149 = 4R².

Решая эту систему, мы найдем координаты точек пересечения х₁ и х₂.

Длина хорды равна расстоянию между точками х₁ и х₂.

Длина хорды: |х₁ - х₂|.

Длина окружности равна произведению радиуса на угол, под которым она отсекает хорду.

Угол можно найти, используя теорему косинусов для треугольника, образованного радиусом окружности и хордой.

Площадь круга можно найти, используя формулу S = πR².

Таким образом, для вычисления длины окружности и площади круга, ограничиваемого данной окружностью, необходимо найти координаты точек пересечения прямой и окружности, а затем по ним вычислить длину хорды, угол и радиус окружности. После этого можно будет найти длину окружности и площадь круга.