Question

Дана трехзвенная замкнутая ломаная АВС. Точки М К Н середина ее звеньев АВ ВС и АС. Точки Р Е G середины отрезков МВ КС и AN.найдите длину ломанай АВС, если а)PB+EC+GA=12см б)AP+BE+CG=108см

Answer 1

1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC

По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

Answer 2

Задача: Длина трехзвенной замкнутой ломаной АВС

Дана трехзвенная замкнутая ломаная АВС, где точки М, К, Н являются серединами ее звеньев АВ, ВС и АС соответственно. Точки Р, Е, G являются серединами отрезков МВ, КС и AN. Необходимо найти длину ломаной АВС в двух случаях:

а) Если PB + EC + GA = 12 см б) Если AP + BE + CG = 108 см

Решение:

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойство серединного перпендикуляра.

Свойство серединного перпендикуляра: Если в треугольнике провести серединный перпендикуляр к одной из сторон, то он будет проходить через середину этой стороны и быть равным половине длины этой стороны.

а) Для нахождения длины ломаной АВС, если PB + EC + GA = 12 см, мы можем использовать свойство серединного перпендикуляра для отрезков МВ, КС и AN.

Из свойства серединного перпендикуляра, мы знаем, что РМ = МВ/2, ЕК = КС/2 и ГА = AN/2.

Таким образом, длина ломаной АВС будет равна сумме длин отрезков МВ, КС и AN:

Длина ломаной АВС = МВ + КС + AN = 2 * РМ + 2 * ЕК + 2 * ГА = 2 * (РМ + ЕК + ГА) = 2 * (МВ/2 + КС/2 + AN/2) = МВ + КС + AN = PB + EC + GA = 12 см

Таким образом, длина ломаной АВС равна 12 см.

б) Для нахождения длины ломаной АВС, если AP + BE + CG = 108 см, мы также можем использовать свойство серединного перпендикуляра для отрезков МВ, КС и AN.

Из свойства серединного перпендикуляра, мы знаем, что РМ = МВ/2, ЕК = КС/2 и ГА = AN/2.

Таким образом, длина ломаной АВС будет равна сумме длин отрезков МВ, КС и AN:

Длина ломаной АВС = МВ + КС + AN = 2 * РМ + 2 * ЕК + 2 * ГА = 2 * (РМ + ЕК + ГА) = 2 * (МВ/2 + КС/2 + AN/2) = МВ + КС + AN = AP + BE + CG = 108 см

Таким образом, длина ломаной АВС равна 108 см.

Ответ:

а) Длина ломаной АВС, если PB + EC + GA = 12 см, равна 12 см. б) Длина ломаной АВС, если AP + BE + CG = 108 см, равна 108 см.

Источник: 'Full text of "Kvant Journal"'