Question

Диагонали смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы в 30 и 45 градусов. Найти косинус угла между этими диагоналями

Answer 1

Использовано: свойство катета против угла в 30 град., теорема Пифагора, теорема косинусов

Answer 2

Определим через высоту h стороны основания параллелепипеда.

а = h/tg30,  b = h/tg45, диагональ основания с=√а²+b²=h√(1/tg30)²+(1/tg45)²

tg30=√3/3,  tg45=1,  a=h√3, b=h, c = h√3+1 = 2h

Теорема косинусов  с²=а²+b²-2ab*cosα

cos α = (a²+b²-c²)/2ab = h²(3+1-4)/2*h√3*h = 0

Answer 3

Пусть a, b и c - длины сторон прямоугольного параллелепипеда, а d1 и d2 - диагонали его боковых граней.

Так как диагонали смежных боковых граней составляют с плоскостью основания углы в 30° и 45°, то можно записать следующие соотношения:

cos(30°) = d1 / a cos(45°) = d2 / b

Разделим второе уравнение на первое:

cos(45°) / cos(30°) = (d2 / b) / (d1 / a)

Упростим выражение:

cos(45°) / cos(30°) = (d2 * a) / (b * d1)

Так как cos(45°) = √2 / 2 и cos(30°) = √3 / 2, подставим значения:

(√2 / 2) / (√3 / 2) = (d2 * a) / (b * d1)

Упростим выражение:

(√2 / √3) = (d2 * a) / (b * d1)

Домножим обе части уравнения на √3:

(√2 / √3) * √3 = (d2 * a) / (b * d1) * √3

Упростим:

√2 = (d2 * a * √3) / (b * d1)

Переставим местами переменные:

√2 * b * d1 = d2 * a * √3

Возведем обе части уравнения в квадрат:

2 * b^2 * d1^2 = 3 * d2^2 * a^2

Разделим обе части уравнения на b^2 * d1^2:

2 / (b^2 * d1^2) = 3 * d2^2 / (a^2 * b^2)

Упростим выражение:

2 / (b^2 * d1^2) = 3 / (a^2 * b^2)

Переставим местами переменные:

2 / 3 = (b^2 * d1^2) / (a^2 * b^2)

Упростим:

2 / 3 = d1^2 / a^2

Из этого уравнения можно найти отношение длины диагонали d1 к длине стороны a:

d1 / a = √(2 / 3)

Извлекая квадратный корень, получим:

d1 / a ≈ 0.816

Таким образом, косинус угла между диагоналями составляет примерно 0.816.