Question

Доказать теорему:Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Answer 1

Можно доказать на примере куба

Answer 2

Для доказательства данной теоремы воспользуемся противоречием.

Предположим, что параллельные прямые l и m лежат в плоскости α, и прямая l параллельна данной плоскости α, а прямая m не параллельна и не лежит в плоскости α.

Возьмем точку A на прямой m, которая не лежит в плоскости α. Проведем через эту точку прямую a, параллельную плоскости α. Также проведем прямую b, проходящую через точку A, параллельную прямой l.

Так как прямые l и m параллельны, то угол между прямыми a и m будет равен углу между прямыми a и l. Но угол между прямыми a и l равен нулю, так как они параллельны. Следовательно, угол между прямыми a и m также равен нулю.

Но это противоречит аксиоме, согласно которой, если две прямые пересекаются с третьей прямой, то угол между ними не может быть равен нулю.

Таким образом, наше предположение неверно, и другая параллельная прямая m либо параллельна данной плоскости α, либо лежит в этой плоскости.

Теорема доказана.