Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания окружности делит гипотенузу на окружности 6 см и 9 см. Найти больший катет.

Answer 1

Решение на фото ниже: 

Ответ: 12 см.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой о вписанном угле, которая гласит, что если в прямоугольный треугольник вписана окружность, то точка касания окружности с гипотенузой делит эту гипотенузу на две части, длины которых равны катетам треугольника.

Давайте обозначим больший катет через \( a \), а меньший катет через \( b \). Тогда длина отрезка гипотенузы, которую разделяет точка касания, равна сумме \( a \) и \( b \), то есть \( a + b \). Мы знаем, что \( a + b = 9 \) (длина отрезка, содержащего меньший катет) и \( a + b = 6 \) (длина отрезка, содержащего больший катет).

Теперь мы можем решить эту систему уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 9 \\ a - b = 6 \end{cases} \]

Сложим обе стороны второго уравнения:

\[ 2a = 15 \]

Теперь найдем значение \( a \):

\[ a = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Таким образом, больший катет треугольника равен 7.5 см.