Question

1.Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС соответственно в точках K, M, N, KМ : MN : NK = 6 : 5 : 7. Найдите углы треугольника АВС.2.Хорды АВ, СD, EF окружности с центром О попарно пересекаются в точках K, М, N, причем каждая хорда делится этими точками на равные части. Найдите периметр треугольника KMN, если АВ = 12 см.

Answer 1

пусть х-коэффициент отношения. Хорды КМ, МN, KN стягивают соответственные дуги. Тогда дуга КМ=6х, дуга MN=5x, дуга NK=7x,

6х+5х+7х=360градусов,  18х=360град, х=20 град.

дуга КМ=6*20=120град, дуга MN =5*20=100 град, дуга NK=7*20=140 град

угол между касательными, проведёнными из одной точки равен половине разности большей и меньшей дуг, находящихся между сторонами угла, поэтому

угол В=дуга КNM-дуга KM=(140+100-120):2=60град

угол С=дугаNKM-дугаNM=(120+140-100):2=80град

угол А=дуга NMK-дуга NK=(100+120-140):2=40град

2)каждая хорда делится двумя точками на 3 равные части, значит они равны между собой. 12:3=4 см каждая часть Периметр треугольника КМN=3*4=12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для решения данной задачи по геометрии, воспользуемся несколькими свойствами окружностей и треугольников. Давайте начнем с первого вопроса.

Решение 1. Найдем углы треугольника АВС.

Для начала, обратим внимание на факт, что точки касания окружности с её сторонами образуют радиусы, перпендикулярные соответствующим сторонам треугольника.

Пусть \( \angle A, \angle B, \) и \( \angle C \) - углы треугольника \( \triangle ABC \). Тогда, согласно свойству касательных и радиусов, у нас есть следующие равенства углов:

1. \( \angle AKM = \angle A \) (так как \( AK \) - радиус) 2. \( \angle BMN = \angle B \) (так как \( BM \) - радиус) 3. \( \angle CNK = \angle C \) (так как \( CN \) - радиус)

Теперь воспользуемся тем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Теперь, нам нужно найти отношения \( KM : MN : NK \). Данное отношение равно 6 : 5 : 7.

Теперь мы можем использовать данное отношение для нахождения углов \( \angle A, \angle B, \) и \( \angle C \). Для этого найдем общий множитель для 180 градусов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Далее, у нас будут следующие выражения для углов:

1. \( \angle A = 6x \) 2. \( \angle B = 5x \) 3. \( \angle C = 7x \)

где \( x \) - общий множитель.

Теперь, найдем \( x \):

\[ 6x + 5x + 7x = 180^\circ \] \[ 18x = 180^\circ \] \[ x = 10^\circ \]

Теперь, найдем углы:

1. \( \angle A = 6 \cdot 10^\circ = 60^\circ \) 2. \( \angle B = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ \) 3. \( \angle C = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ \)

Таким образом, углы треугольника \( \triangle ABC \) равны: \( \angle A = 60^\circ \), \( \angle B = 50^\circ \), и \( \angle C = 70^\circ \).

Решение 2. Найдем периметр треугольника KMN.

Для нахождения периметра треугольника \( \triangle KMN \) нам необходимо знать длины его сторон. Но, поскольку нам дано лишь значение длины хорды \( AB = 12 \, см \), нам нужно дополнительную информацию о геометрических свойствах треугольника \( \triangle KMN \) или окружности с центром \( O \), чтобы найти его периметр.

Если у вас есть дополнительные данные или условия задачи, пожалуйста, предоставьте их, и я буду рад помочь в решении этой задачи.