Question

1) В треугольнике ABC MN-средняя линия, M принадлежит AB, N принадлежит BC, О - точка пересечения медиан. Найти координаты вершин треугольника, если известны координаты точек О (1;-2), М (2;-1) и N(0;-1) 2) Найдити длины медиан AN и СM

Answer 1

K = AO/ON =2.
x(O) =  (x(A) +2x(N) )/(1 +2) ; || x =(x₁ +k*x₂)/(1+k) ||
x(A) =3*x(O) -2x(N) =3*1 -2*0 =3.
y(A) =3*y(O) -2y(N) =3*(-2)  -2*(-1)  = - 4.
A( 3 ; - 4) .
-------
x(M) = (x(A) +x(B))/2 ⇒ x(B) =2x(M) -x(A)  =2*2 -3 =  1.
y(M) = (y(A) +y(B))/2 ⇒ y(B) =2y(M) -y(A)  =2*(-1) -(-4) = 2.  
B(1 ; 2) .
аналогично :
x(N) = (x(B) +x(C))/2 ⇒ x(C) =2x(N) -x(B)  =2*0 -1 = - 1.
y(N) = (y(B) +y(C))/2 ⇒ y(C) =2y(N) -y(B)  =2*(-1) -2  = - 4.
C( -1; -4).

проверка : x(O) =(x(A) +x(B) +x(C))/3 =(3 +1 -1)/3 =1.
y(O) =(y(A) +y(B) +y(C))/3 =(-4 +2 -4)/3 = -2.

Answer 2

1) Для начала найдем координаты вершин треугольника. Мы знаем, что точка M(2;-1) принадлежит стороне AB, а точка N(0;-1) принадлежит стороне BC. Таким образом, точки A и C лежат на прямой, проходящей через точки M и N.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки M и N: Уравнение прямой можно найти, используя формулу: y = kx + b, где k - коэффициент наклона прямой, b - свободный член.

Сначала найдем коэффициент наклона k: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - (-1)) / (2 - 0) = 0

Таким образом, уравнение прямой имеет вид y = -1.

Теперь найдем координаты вершин A и C, зная, что они лежат на этой прямой. Так как точки M и N имеют одинаковую ординату (-1), то координата y вершин A и C также будет равна -1.

Таким образом, координаты вершины A будут (x, -1), а координаты вершины C будут (x, -1).

Теперь мы можем использовать координаты точки O(1;-2) для определения координат вершины B. Так как точка O является точкой пересечения медиан, то она делит медиану, проходящую через вершину B, в отношении 2:1. Это означает, что координаты вершины B можно найти, используя формулу: xB = 2 * xO - xM, yB = 2 * yO - yM.

Подставим известные значения: xB = 2 * 1 - 2 = 0 yB = 2 * (-2) - (-1) = -3

Таким образом, координаты вершины B будут (0, -3).

Итак, координаты вершин треугольника ABC: A(x, -1), B(0, -3), C(x, -1).

2) Теперь найдем длины медиан AN и CM.

Для начала найдем координаты точек A, N, C и M: A(x, -1), N(0, -1), C(x, -1), M(2, -1).

Теперь найдем длину медианы AN: Длина медианы AN можно найти, используя формулу: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Подставим известные значения: dAN = √((0 - x)^2 + (-1 - (-1))^2) = √(x^2 + 0) = √x^2 = |x|.

Теперь найдем длину медианы CM: dCM = √((x - 2)^2 + (-1 - (-1))^2) = √((x - 2)^2 + 0) = |x - 2|.

Итак, длина медианы AN равна |x|, а длина медианы CM равна |x - 2|.