Question

ABCD-квадрат, диагонали которого пересекаются в точке O. AH-перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые HO и BD перпендикулярны.

Answer 1

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Тут же наоборот, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна всем прямым на этой плоскости.

Answer 2

Для начала обозначим точки квадрата следующим образом: A, B, C, D - вершины квадрата, O - точка пересечения диагоналей, H - точка, в которой AH пересекает плоскость квадрата.

Так как диагонали квадрата пересекаются в точке O, то они делят друг друга пополам. Это означает, что точка O является центром симметрии квадрата, а значит, отрезки AO и CO равны, а также отрезки BO и DO равны.

Теперь рассмотрим треугольник AOH. Так как AH является перпендикуляром к плоскости квадрата, то угол HAO равен 90 градусам. Также угол AOH равен 45 градусам, так как AO равен CO. Таким образом, угол OAH также равен 45 градусам.

Аналогично, рассмотрим треугольник BOD. Угол BOD также равен 45 градусам, так как BO равен DO.

Теперь обратим внимание на треугольник HOA. Угол AHO равен 90 градусам, так как HO является высотой этого треугольника. Угол OHA равен 45 градусам, так как HO равен AO. Таким образом, угол OAH также равен 45 градусам.

Из вышесказанного следует, что углы OAH и OHA в треугольнике HOA равны 45 градусам.

Таким образом, прямые HO и BD перпендикулярны, так как угол между ними равен 90 градусам (угол BOH равен 45 градусам, а угол OAH равен 45 градусам).