Question

В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник является квадратом

Answer 1

Решение приведено на фотографии. Заранее прошу прощения за почерк.

Answer 2

Доказательство:

Для доказательства того, что полученный четырёхугольник является квадратом, мы можем использовать свойства биссектрисы прямого угла и параллельности прямых.

1. Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где AC - гипотенуза, AB и BC - катеты. Пусть BD - биссектриса прямого угла, где D - точка пересечения биссектрисы и гипотенузы.

2. Поскольку BD - биссектриса прямого угла, то AD = DC. Это свойство биссектрисы.

3. Пусть EF и GH - прямые, проведенные через точку D и параллельные катетам AB и BC соответственно.

4. Поскольку EF || AB и GH || BC, то углы EDF и GDH являются прямыми углами. Это свойство параллельных прямых.

5. Поскольку AD = DC и углы EDF и GDH являются прямыми углами, то квадраты AEFD и GDHC равны по сторонам и по углам. Это свойство квадратов.

6. Таким образом, полученный четырёхугольник AEFD является квадратом.

Ответ:

Полученный четырёхугольник, образованный через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы и прямые, параллельные катетам, является квадратом.