Question

СРОЧНО Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точки O.найти отношение Ok:ON если MN=5 cm NP=3cm MP=7cm

Answer 1

биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной окружности есть теорема о точке пересечения биссектрис

для нашего треугольника она звучит так

Если О-точка пересечения биссектрис треугольника MNP ,

то NO / OK =   (MN+NP) /  MP  <----подставим числа из условия 

NO / OK =   (5+3) /  7 = 8 / 7

можно записать так отношение Ok:ON  = 7 :  8

Answer 2

Для начала рассмотрим треугольник \( MNP \) и построим его биссектрисы. Для этого нам понадобится найти длины сторон треугольника.

Известно: \( MN = 5 \, см \) \( NP = 3 \, см \) \( MP = 7 \, см \)

Нахождение углов треугольника \( MNP \)

Для начала найдем углы треугольника \( MNP \) с помощью косинусного закона:

\[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

где \( a \), \( b \), и \( c \) - длины сторон треугольника \( MNP \), \( A \) - угол напротив стороны \( a \).

Найдем угол \( \angle M \): \[ \cos(\angle M) = \frac{NP^2 + MP^2 - MN^2}{2 \cdot NP \cdot MP} \] \[ \cos(\angle M) = \frac{3^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 7} \] \[ \cos(\angle M) = \frac{9 + 49 - 25}{42} \] \[ \cos(\angle M) = \frac{33}{42} \] \[ \cos(\angle M) \approx 0.7857 \] \[ \angle M \approx \arccos(0.7857) \] \[ \angle M \approx 39.23^\circ \]

Аналогично найдем угол \( \angle N \) и угол \( \angle P \).

Нахождение биссектрис треугольника \( MNP \)

Теперь найдем биссектрисы треугольника \( MNP \). Биссектриса угла \( \angle M \) делит угол \( \angle M \) на два равных угла, поэтому мы можем использовать теорему о биссектрисе:

\[ \frac{MD}{NP} = \frac{MP}{MN + NP} \]

где \( MD \) - биссектриса угла \( \angle M \), \( NP \) - сторона треугольника напротив угла \( \angle M \), \( MP \) - сторона треугольника, инцидентная биссектрисе \( MD \), \( MN \) - оставшаяся сторона треугольника.

\[ \frac{MD}{3} = \frac{7}{5 + 3} \] \[ \frac{MD}{3} = \frac{7}{8} \] \[ MD = 3 \cdot \frac{7}{8} = \frac{21}{8} \, см \]

Аналогично найдем биссектрису \( NK \).

Нахождение отношения \( OK:ON \)

Теперь, когда мы нашли биссектрисы \( MD \) и \( NK \) треугольника \( MNP \), мы можем найти отношение \( OK:ON \).

Так как \( O \) - точка пересечения биссектрис, то \( OK \) и \( ON \) являются биссектрисами углов треугольника \( MON \). Поэтому отношение \( OK:ON \) равно отношению длин биссектрис треугольника \( MNP \).

Таким образом, отношение \( OK:ON \) равно отношению длин биссектрис \( MD \) и \( NK \): \[ \frac{OK}{ON} = \frac{MD}{NK} \]

Теперь мы можем вычислить отношение \( OK:ON \) подставив значения \( MD \) и \( NK \): \[ \frac{OK}{ON