Question

В прямоугольном треугольнике ABC на катетах AB и BC (2BC>AB>BC) взяты точки D и Е так, чтоAD=CB, BD=CE. Докажите, что угол между отрезками АЕ и СD равен 45°

Answer 1

Ну, т.к. никто не хочет выкладывать решение, то прийдется мне...
Решение смотри в файле.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения в прямоугольном треугольнике ABC рассмотрим два случая:

Случай 1: AD = BC

В этом случае рассмотрим треугольник ABD. Так как AD = BC, то угол ABD равен углу BAC (по условию AD = CB). Также, так как треугольник ABC прямоугольный, угол BAC равен 90 градусам. Значит, угол ABD также равен 90 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник BCE. Так как BD = CE, то угол BCE равен углу BCD (по условию BD = CE). Так как треугольник ABC прямоугольный, угол BCD равен 90 градусам.

Таким образом, угол ABD равен 90 градусам, а угол BCE равен 90 градусам.

Из этого следует, что угол между отрезками AE и CD равен сумме углов ABD и BCE, то есть 90 градусам + 90 градусам = 180 градусам. Но так как угол не может быть больше 180 градусов, то такой случай невозможен.

Случай 2: AD ≠ BC

В этом случае рассмотрим треугольник ABD. Так как AD ≠ BC, то угол ABD не равен углу BAC (по условию AD = CB). Обозначим угол ABD как α.

Теперь рассмотрим треугольник BCE. Так как BD = CE, то угол BCE равен углу BCD (по условию BD = CE). Обозначим угол BCE как β.

Таким образом, угол между отрезками AE и CD равен сумме углов α и β, то есть α + β.

Так как угол ABD является внутренним углом треугольника ABC, то сумма всех внутренних углов треугольника ABC равна 180 градусам. Значит, α + β + 90 градусов = 180 градусам.

Отсюда следует, что α + β = 90 градусов.

Таким образом, угол между отрезками AE и CD равен 90 градусам, что не является 45 градусами.

Таким образом, ни один из двух случаев не приводит к тому, что угол между отрезками AE и CD равен 45 градусам. Поэтому утверждение, которое необходимо доказать, неверно.