Question

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D причем точки Е и F лежат по одну сторону от прямой СD.Докажите что СD перпендикулярна EF

Answer 1

Рассматриваем тр.-ник  ECD.В нём EC=CD(следовательно треугольник равнобедренный) и проведён диаметр EK.Нам нужно доказать,что он (EK) перпендикулярен CD.Для этого строим FC и FD,опять равнобедренный треугольник FCD,где FC=FD.Из равенства углов ECD=CDE и FCD=FDC получаем,что ECK=KDE.Выходит,что треугольник ECF и EDF равны по двум сторонам и двум углам между ними.Из этого следует,что угол CEK=DEK.
Теперь вернёмся к треугольнику ECD.В нём EK-биссектрисса,а значит и медиана.Отсюда следует,что CK=KD.Теорема доказана.

Answer 2

Given Information

We are given that circles with centers at points E and F intersect at points C and D, with E and F lying on the same side of the line CD.

Proof of Perpendicularity

To prove that CD is perpendicular to EF, we can use the fact that the line joining the center of a circle to the point of intersection of the circle and a tangent is perpendicular to the tangent at that point.

Proof Steps

1. Join the centers E and F to the points of intersection C and D. 2. Since the circles intersect at C and D, the lines CE and CF are radii of the circle with center at E, and the lines DF and DE are radii of the circle with center at F. 3. By the property of circles, the radii of a circle are perpendicular to the tangent at the point of intersection. 4. Therefore, CE and CF are perpendicular to CD, and DE and DF are perpendicular to CD. 5. Since CE, CF, DE, and DF are all perpendicular to CD, it follows that CD is perpendicular to EF.

Hence, CD is perpendicular to EF.

This proof is based on the properties of circles and their tangents, and it demonstrates that in the given scenario, CD is indeed perpendicular to EF.