Question

Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках F1(-3;0) и F2(3;0) , а длина действительной полуоси равна 4.

Answer 1

$\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$ - уравнение гиперболы

F₁(-3;0), F₂(3;0) - фокусы гиперболы, значит с=3.
По условию, длина действительной полуоси равна 4, т.е. 2а=4
                                                                                        а=4:2=2
Находим значение b: 
$a^2+b^2=c^2\\b^2=c^2-a^2\\b^2=3^2-2^2=9-4=5$

Составим уравнение гиперболы:

$\frac{x^2}{4}- \frac{y^2}{5}=1$ - искомое уравнение гиперболы

Answer 2

Гипербола имеет уравнение в виде:

(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1

Где (h, k) - координаты центра гиперболы, a - длина полуоси, b - длина действительной полуоси.

Так как фокусы находятся в точках F1(-3;0) и F2(3;0), то центр гиперболы находится посередине между этими двумя точками, то есть в точке (0;0).

Также известно, что длина действительной полуоси равна 4, а фокусы находятся на оси x, поэтому a = 4.

Теперь можем подставить известные значения в уравнение гиперболы:

(x-0)^2/4 - (y-0)^2/b^2 = 1 x^2/16 - y^2/b^2 = 1

Таким образом, уравнение гиперболы с фокусами в точках F1(-3;0) и F2(3;0) и длиной действительной полуоси равной 4 имеет вид:

x^2/16 - y^2/b^2 = 1