Question

Точка м равноудалена от всех сторон ромба ,находится на расстоянии 2 см от плоскости ромба.Найдите расстояние от точки М до вершин ромба ,если его диагонали 12 см и 16 см

Answer 1

Перефразируем :
вершина M пирамиды равноудалена от всех сторон основания (ромба  ABCD ), высота MO=2 . Пусть AC =16 см ; BD =12 см. Найти боковые ребра . Условие подсказывает, что
высота проходит через центр O окружности вписанной в основании (ромб). Эта точка пересечения диагоналей AC и  BD. AO=CO =AC/2 =16 см/2 =8 см ; BO =CO =BD/2 =6 см. 
Из ΔAOM по теореме Пифагора:  MA = √(AO² +MO²) =√(8² +2²) =√68 =√4*17 =2√17 (см).
MC =MA = 2√17 см.
 Аналогично найдем MB =MD =√(BO² +MO²) =√(6² +2²) =√40=√4*√10=2√10 ((см).

ответ : 2√17 см  ; 2√10 см .

Answer 2

Пусть проекция точки $M$ на плоскость ромба -- точка $H$. Пусть основания перпендикуляров  из $M$ на стороны ромба -- $M_1, M_2, M_3, M_4$ (не важно, в каком порядке). Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, отрезки $HM_1, HM_2, HM_3, HM_4$ перпендикулярны отрезку $MH$. Таким образом, мы получаем четыре прямоугольных треугольника: $MHM_1, ..., MHM_4$, у которых общий катет $(MH)$ и равны гипотенузы (по условию $MM_1=MM_2=MM_3=MM_4$), значит, все эти прямоугольные треугольники равны друг другу. Значит, $HM_1=HM_2=HM_3=HM_4$, таким образом, точка $H$ так же равноудалена от сторон ромба, то есть лежит в центре вписанной окружности ромба, то есть на пересечении биссектрис, то есть это точка пересечения диагоналей (т. к. в ромбе диагонали являются биссектрисами).Пусть вершины ромба -- $A, B, C, D$ (так, что диагональ $AC = 16$, а диагональ $BD = 12$). Тогда расстояние $MA$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $MHA$, катет $MH$ которого нам дан в условии, а катет $HA$ находим исходя из того, что точка $H$ -- точка пересечения диагоналей в ромбе, поэтому делит их пополам. Значит,$HA=\frac{16}{2}=8$. По теореме пифагора находим $MA$. $MA = \sqrt{8^2+2^2} = 2\sqrt{17}$. $MA = MC$, т. к. прямоугольные треугольники $MHA$ и $MHC$ равны по двум катетам.
Абсолютно аналогично находим $MB = MD$. $MB=MD=\sqrt{{MH}^2+{HB}^2}=\sqrt{MH^2+(\frac{BD}{2})^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$