Question

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагоналиAC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC.Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость,образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45 градусов.Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?

Answer 1

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC. Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45 градусов. 
Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?
--------
Сделаем рисунок. 
Угол МАС=45º по условию и 
SH=AC*1,5=1,5*1,5=2,25 
В треугольнике SHC  точка М - середина SC; отрезок МР⊥ НС и ||  SH,⇒
МР - средняя линия и равен SH:2МР=2,25:2=1,125 
АМ=МР:sin 45º=1,125√2=(9/8)*√2 
Т.к. основание высоты совпадает с центром ромба, треугольник АSС - равнобедренный и сечение проходит через точку пересечения медиан SH  и AM треугольника ASC. 
 SO:OH=2:1 по свойству медиан. 
КЕ || BD 
Треугольники BSD и KSЕ подобны 
SO:SH=2:3. 
КЕ : BD=2/3 
По свойству диагоналей параллелограмма ( а ромб - параллелограмм)  
D²+d²= 2 a²+2 b² 
АС²+ВD²=4*AB² 
ВD²=4-2,25=1,75 
ВD=√1,75=0,5√7 
KE=BD*2/3=(√7):3 
Диагонали четырехугольника АКМЕ взаимно  перпендикулярны. 
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. 
S АКМЕ=0,5*АМ*КЕ*sin 90º=0,5*{(9/8)*√2 *(√7):3}*1=(3√14):16