Question

В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

трапеция АВСД, АВ=СД, АС=ВД=10, СН-высота на АД=6, из вершины С проводим линию параллельную ВД до пересечения ее с продолжением АД в точке К, ДВСК параллелограмм, ВД=СК=10, ВС=ДК, треугольник АСК равнобедренный, АС=СК=10, СН=высота=медиана=биссектриса=6, треугольник АСН прямоугольный, АН=корень(АС в квадрате-СН в квадрате)=корень(100-36)=8=НК, АК=8+8=16=АД+ДК=АД+ВС, площадьАВК=1/2*(АК*СН)=1/2*16*6=48=1/2*(АД+ВС)*СН, площадь треугольника АСК=площадь трапеции АВСД

Answer 2

Есть у нас трапеция АВСD. У нее есть высоты BH1 и CH2, и диагональ АС. 
1. Поскольку высоты BH1 и CH2 параллельны, отрезок Н1Н2 = ВС. 
2. Поскольку трапеция равнобедренна, то АН1 = DH2 
3. Полусумма оснований (АD + BC)/2 = (АН1 + H1H2 + H2D + ВС) /2 = (2 * АH1 + 2 * H1H2) /2 = АH1 + H1H2 = АH2. 
4. Треугольник АСН2 - прямоугольный, поскольку СН2 перпендикулярна к АН2. Из теоремы Пифагора АH2 = √(АС² - CH2²) = 8. 
5. Площадь равна произведению высоты на полусумму оснований S = АH2 * CH2 = 8 * 6 = 48
(Пусть диагонали равны D1 и D2, а высота равна Н. Тогда площадь трапеции равна: 
S=(sqrt(D1^2-H^2)+sqrt(D2^2-H^2))*H/2)(второе решение)