Question

Площадь прямоугольного треугольника 24 см2, а разность длин его катетов равна 2 см, точка удаленная от плоскости треугольника на 12 см равноудалена от всех его вершин. Найдите расстояние от данной точки до вершин треугольника.

Answer 1

площадь прямоугольного треугольника = половине произведения его катетов (a и b)...

ab/2 = 24 => ab = 48

a-b = 2 => a = 2+b

(2+b)b = 48

b^2 + 2b - 48 = 0

D = 4+4*48 = 4*49

b(1;2) = (-2+-2*7)/2 ---отрицательный корень не имеет смысла...

b = -1+7 = 6

a = 8

т.к. точка равноудалена от вершин треугольника, т.е. все наклонные из точки к плоскости (к вершинам треугольника) равны, то равны и проекции этих наклонных, т.е. точка проецируется в центр описанной около треугольника окружности.

для прямоугольного треугольника известно, что центр описанной окружности лежит на его гипотенузе и радиус описанной окружности = половине гипотенузы...

по т.Пифагора найдем гипотенузу

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36+64 = 100

c = 10

и еще раз по т.Пифагора 

искомое расстояние = корень(12^2 + 5^2) = корень(144+25) = 13