Question

Вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD описана окружность. К - точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Угол ВKС = 60 градусов, АВ = 43, DС = 4. Найти радиус описанной окружности.

Answer 1

$ABCD -$  выпуклый четырехугольник,  вписанный в окружность

$AC$ ∩ $BD=K$

∠ $BKC=60к$

$AB=43$

$DC=4$

Воспользуемся:

Для произвольного треугольника ABC выполняется равенство  $\frac{a}{sinA} =2R,$  где a - длина стороны, лежащей против угла А, R - радиус описанной окружности. 

$1)$

Пусть ∠ $KBC= \alpha$, а ∠ $KCB= \beta$

Рассмотрим Δ $KBC:$

$\ \textless \ BKC+\ \textless \ KBC+\ \textless \ KCB=180к$

$60к+ \alpha + \beta =180к$

$\alpha + \beta =120к$

$2)$

Δ $ABC$ вписан в окружность, тогда 

$\frac{AB}{sin \beta }=2R$

$\frac{43}{sin \beta } =2R$

$3)$

Δ $DBC$ вписан в окружность, тогда 

$\frac{DC}{sin \alpha } =2R$

$\frac{4}{sin \alpha } =2R$

$\frac{43}{sin \beta }= \frac{4}{sin \alpha }$

$\alpha + \beta =120к$

$\beta =120к- \alpha$

$\frac{43}{sin (120к- \alpha ) }= \frac{4}{sin \alpha }$

$43 sin \alpha =4sin(120к- \alpha )$

$sin (120к- \alpha )=sin 120кcos \alpha -sin \alpha cos120к= \frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha -sin \alpha *(- \frac{1}{2})$$=\frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha + \frac{1}{2}sin \alpha$

$43sin \alpha =4(\frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha + \frac{1}{2}sin \alpha)$

$43sin \alpha =2\sqrt{3} }cos \alpha +2sin \alpha$

$41sin \alpha =2\sqrt{3} }cos \alpha$

$(41sin \alpha)^2 =(2\sqrt{3} }cos \alpha)^2$

$1681sin^2 \alpha =12cos^2 \alpha$

$1681sin^2 \alpha =12(1-sin^2 \alpha)$

$1681sin^2 \alpha =12-12sin^2 \alpha$

$1693sin^2 \alpha =12$

$sin^2 \alpha = \frac{12}{1693}$

$sin \alpha = \sqrt{ \frac{12}{1693} }$

$4)$

$\frac{4}{sin \alpha } =2R$

$\frac{4}{ \sqrt{ \frac{12}{1693} } } =2R$

$\frac{4}{ \frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{1693} } } =2R$

$\frac{2 \sqrt{1693} }{{ \sqrt{3} } } =2R$

$\frac{ \sqrt{1693} }{{ \sqrt{3} } } =R$

$R= \sqrt{ \frac{1693}{3} }$