Question

Точка K делит диагональ AC квадрата ABCD в отношении 3:1 . Прямые BK и CD пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника KPC , если сторона квадрата равна 4

Answer 1

В ΔАВК и ΔСКР: ∠АКВ=∠СКР как вертикальные, ∠ВАК=∠КСР как накрест лежащие при АВ║СД и секущей АС, значит, эти треугольники подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: АК/КС=АВ/СР. По условию АК/КС=3, тогда АВ/СР=3, отсюда СР=АВ/3. Проведем высоты КМ⊥СР и КЕ⊥АВ. Это высоты подобных треугольников, значит, КМ/КЕ=3/1, но КМ+КЕ=АВ, тогда КЕ=АВ/4.
По формуле площади треугольника: S ΔСКР = 1/2* КЕ * СР=1/2* АВ/4 * АВ/3= АВ² /24 = 4² /24 =16/24 = 2/3