Question

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АМК.

Answer 1

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника. ВМ - медиана тр-ка АВС, значит площадь Sabm=(1/2)*Sabc. AK - медиана тр-ка АВМ, значит Sabk=Sakm=(1/2)*Sabm=(1/4)*Sabc.
Проведем MN параллельно ВС. Треугольники MNK и BPK равны по стороне и двум прилегающим к ней углам (<KBP=<KMN как внутренние накрест лежащие при параллельных MN и ВС и секущей ВМ, <BKP=NKM как вертикальные, а МК=КВ - дано). Из равенства этих треугольников ВР=MN. Но MN - средняя линия треугольника АРС и равна (1/2)*РС. Значит ВР/РС = 1/2. Площади треугольников АВР и АРС, имеющих одинаковую высоту, проведенную из вершины А к стороне ВС (сторонам ВР и РС) относятся как эти стороны. То есть Sabp/Sapc=1/2. Значит Sabp = (1/3)*Sabc. Sbkp = Sabp - Sabk = (1/3)*Sabc - (1/4)*Sabc = (1/12)*Sabc. Тогда Sbkp/Samk = [(1/12)*Sabc]/[(1/4)*Sabc] = 1/3.
Ответ: Sbkp/Samk = 1/3.