Question

. Дан пространственный четырехугольникАВСD, М и N – середины сторон АВи ВСсоответственно; Е CD, K DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2.а) Выполните рисунок к задаче.б) Докажите, что четырехугольникMNEK есть трапеция.

Answer 1

Дано: АВСD-пространственный четырехугольник.

М-середина АВ

N-середина ВС

Еε СD

Кε DA

DE:EC=1:2

DK:KA=1:2

Доказать: MNEK-трапеция.

Д-во:

Рассмотрим треугольник АВС:

М-середина АВ, N-середина ВС

Значит, MN-средняя линия треугольника АВС.

MN=0.5*AC

MN||AC

Рассмотрим треугольник АDC:

DE:EC=1:2

DK:KA=1:2

Треугольники ADC и DEK- подобные (по второму признаку подобия треугольников), т.к угол D-общий, а его стороны пропорциональны:

DE/EC=DK/KA=1/2

Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

А так как два эти треугольника подобны, то КЕ||AC

Так как KE||AC, MN||AC => KE||MN.

По определению трапеции, четырехугольник называется трапецией, если две его стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Докажем, что стороны КМ, EN не параллельны друг другу.

АМ/MB=CN/NB=1/1

DE/EC=DK/KA=1/2

Значит, стороны KM, EN не могут быть параллельными в связи с разным отношением сторон.

Значит, четырехугольник MNEK-трапеция.