Question

Через середину О диагонали АС прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках Р и К соответственно. 1) Докажите, что АРСК — параллелограмм. 2) Найдите площадь АРСК, если АК = 4, KD = 8 и АС =13. 3) Найдите РК. 4) С помощью микрокалькулятора найдите угол АОК.

Answer 1

S(amb)=S(bmc) => S(amb) = 1/2 S(abc) ((1)медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника(1))

AК - медиана треугольника AMB, так как BK=KM

S(abk)=S(amk)=1/2 S(abm) = 1/4 S(abc) (аналогично с 1) Т.к ВК=КМ то ВМ=1/2 * ВК Допольнительное построение: Прямая проходящая через точку В и паралельная АС; Продлеваем АР до пересечения с прямой и ставим точку Е Треугольник ВКЕ подобен АКМ ( по 2 углам(ВЕК=КАМ накрест лежащие при прямых ВЕ и АС , секущей АЕ и ВКЕ=АКМ вертикальные)=> АМ/ВЕ=КМ/ВК, т.к КМ=ВК то АМ=ВЕ => ВЕ=1/2 * АС Треугольник ВРЕ подобен АРС ( по 2 углам (ВРЕ=АРС вертикальные и ВЕК=КАМ накрест лежащие при прямых ВЕ и АС , секущей АЕ) => РС/ВР=АС/ВЕ, т.к ВЕ=1/2 * АС то РС/ВР= 2/1 => ВР/ВС=1/3

Проведем MH параллельно AP

MH - средняя линия ACP (так как MH параллельна AP и AM=MC) (по признаку средней линии)=>PH=HC(по определению средней линии)

KP - средняя линия BMН (по признаку средней линии) =>PH=PB(по определению средней линии)

PH=HC; PH=PB =>PH=HC=PB S(bkp)=1/2* sin(КBР) * BK* BP (площадь треугольника равна произведение сторон на синус угла между ними) S(mbc)=1/2* sin(КBР) * BM*BC  (площадь треугольника равна произведение сторон на синус угла между ними)

S(bkp)/ S(mbc)= 1/2 * sin(КBР) * BK* BP/1/2* sin(КBР) * BM*BC ( при этом мы знаем, что BK=1/2 * BM и BP = 1/3 * BC)=> S(bkp)/ S(mbc)=1/6

S(bkp)/ S(mbc)=1/6 => S(cmkp)/ S(mbc)=5/6 S(mbc)=1/2 S(abc) (из доказаного выше) => S(cmkp)/ S(abc) = 5/12 S(abk)/S(kpcm) = 1/4 S(abc)/ 5/12S(abc)= 3/5